热方程

上面的主图画一根从0到$\pi$的杆上的温度$u$：淡色是开始时，黄色是时刻$t$。蓝色箭头表示每一点升温或降温有多快。下面一条按温度给杆涂上深浅，最下面一行用对数刻度给出每个正弦模式的大小（两端绝热时是余弦模式）。

为什么弯得越厉害的地方变得越快？取一个小步长$h$，$u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$，也就是两个邻居的平均值比$u(x)$高出的部分再乘$2/h^2$。$u_{xx} > 0$的地方曲线向上弯，这一点比近旁邻居的平均低，它升温；$u_{xx} < 0$的地方则降温。在直的一段上$u_t = 0$，不管那里多热。探针可以用两个近旁的邻居和它们的平均示意这一点。跳跃和尖角会立刻被抹平：只要$t > 0$，温度就是一条光滑曲线。

为什么细的起伏先消失？单个模式（两端恒温0时是$\sin kx$，两端绝热时是$\cos kx$）满足$u_{xx} = -k^2 u$，所以它形状不变，只是按因子$e^{-k^2 t}$整体变小。波纹数变成三倍，同样振幅下$u_{xx}$变成九倍，衰减也快到九倍。任何初始温度都是这些模式的和，所以最下面一行的柱从右往左依次落下：模式$k$过了$t_k = \ln 10/k^2$就剩不到开始时的10%。在对数时钟下，时间每过十倍，被抹掉的模式就宽约$\sqrt{10} \approx 3.2$倍。红色的尺子$2\sqrt t$给出这个尺度：单个模式的半波长不超过尺长时，振幅最多剩$e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$。

两端起什么作用？两端恒温0时，它们是冰，$u$就是相对冰的温度。时间越久，曲线越由初态里现有的最低模式主导。初始温度处处不为负、也不全为0时，热量从两端流走，$\int u\,dx$不断减少，曲线变成一个按$e^{-t}$下沉的正弦拱。两端绝热时热量出不去，$\int u\,dx$保持不变。这时的模式是余弦，$k = 0$那个模式就是平均温度，它永远不衰减：杆最后处处等于平均温度。两种两端都从$t = 0$起作用；初始温度在端点和它对不上，比如夹在两块冰之间、全杆一样热的杆，端点处会立刻被拉过去。