散度

平面向量场$\mathbf F = (P, Q)$的散度是一个数量：$\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y$，在F连续可微的地方有定义。它量的是每单位面积的净流出，也叫源密度。以p为圆心画一个半径r的小圆，把圆周上向外的法向分量$\mathbf F\cdot\mathbf n$加起来（通量Φ），再除以面积：

圆周上的刻度就是F·n：往外的实心，往里的空心，同一个圆上比例相同。光滑的场里，比值和散度差一个r²的倍数，所以r每减半，差距大约变为1/4；线性场里任何圆的比值都正好等于散度。形状不要紧：以p为中心的正方形给出同一个极限。墨水让这个意思看得见：随流的一小块流体，面积的相对增长率就是$\operatorname{div}\mathbf F$；有限大小的墨水、流过有限的时间，量到的是一个平均。

把一个区域切成小格，把各格的净流出加起来：每条内部的边，一格的流出正是隔壁一格的流入，加起来只剩边界。小格越切越细，这个和就成为散度定理（格林定理的通量形式）：$\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA$，条件是D为有界区域、边界分段光滑，F在D上连续可微。三维里同样的说法就是高斯公式，曲线换成曲面、面积换成体积。