向量场

平面上的向量场给定义域里的每一点$(x, y)$配一个向量$\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y))$。把它读成速度场，平面上的每一点都会随之移动：粒子满足下面的自治方程组，它走过的路是向量场的积分曲线（也叫流线）。本页画出这个场，让墨水和粒子随它流动，并在探针所在的地方算出F。

箭头只是这一刻的速度，所以粒子不会沿着一支箭头直走，而是沿着处处与箭头相切的曲线走：旋转场$(-y, x)$里，(1, 0)处的箭头竖直朝上，墨水的中心却绕着单位圆转。网格上的箭头用同一个比例缩短，比例写在画面下方（少数特别长的画到上限，杆上有一道斜杠）；探针的箭头是按真实长度画的F(P)，两条虚线是它的分量P和Q。

一小滴墨水能看出场在一点附近的结构。在一阶近似下，它被中心处的F带着走，又被场的导数矩阵变形：面积的相对增长率是$\operatorname{div}\mathbf F$（有大小的墨水是散度在墨水上的平均），各方向的无穷小线元平均以$\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F$的角速度转动，剩下的是剪切和拉伸，这两个数都描述不了。两条直径把这一点画了出来：剪切场里到t = 1，一条倾斜了45°，另一条仍然水平。