Equazione del calore

Il grafico superiore mostra la temperatura $u$ lungo una barra da 0 a $\pi$: sbiadita all’inizio, gialla all’istante $t$. Le frecce blu indicano quanto rapidamente ogni punto si scalda o si raffredda. La barra sottostante è colorata secondo la temperatura, mentre la riga in basso mostra la grandezza di ogni modo seno su scala logaritmica, o dei modi coseno quando gli estremi sono isolati.

Perché un punto cambia più in fretta dove la curva si piega di più? Per un piccolo passo $h$, $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: cioè $2/h^2$ volte la differenza tra la media dei due vicini e $u(x)$. Dove $u_{xx} > 0$, la curva si piega verso l’alto: il punto è sotto la media dei suoi vicini prossimi e si scalda. Dove $u_{xx} < 0$, si raffredda. Su un tratto rettilineo, $u_t = 0$, per quanto sia caldo. La sonda può mostrarlo con due vicini prossimi e la loro media. Salti e spigoli diventano lisci subito: per ogni $t > 0$, la temperatura è una curva liscia.

Perché le ondulazioni fini spariscono per prime? Un singolo modo, $\sin kx$ con gli estremi fissi a 0 oppure $\cos kx$ con estremi isolati, soddisfa $u_{xx} = -k^2 u$. Conserva quindi la forma e si riduce soltanto del fattore $e^{-k^2 t}$. Tre volte più ondulazioni danno, alla stessa altezza, una derivata seconda nove volte maggiore e un decadimento nove volte più rapido. Ogni temperatura iniziale è una somma di questi modi, quindi le barre in basso scendono da destra: il modo $k$ cala sotto il 10% del valore iniziale dopo $t_k = \ln 10/k^2$. Con l’orologio logaritmico, ogni aumento di dieci volte del tempo elimina modi circa $\sqrt{10} \approx 3.2$ volte più larghi. Il righello rosso $2\sqrt t$ indica questa scala: un singolo modo la cui mezza lunghezza d’onda non superi il righello conserva al massimo $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ dell’ampiezza.

Che cosa cambiano gli estremi? Fissi a 0, rappresentano il ghiaccio, e $u$ si misura rispetto alla sua temperatura. Nel tempo, il modo più basso presente all’inizio domina la forma. Se la temperatura iniziale non è mai negativa e non è nulla ovunque, il calore esce dagli estremi, $\int u\,dx$ diminuisce e il profilo diventa un arco sinusoidale che si abbassa come $e^{-t}$. Attraverso estremi isolati non passa calore, quindi $\int u\,dx$ resta costante. I modi sono allora coseni e il modo $k = 0$, la temperatura media, non decade mai: tutta la barra tende alla propria media. Entrambe le condizioni agiscono da $t = 0$. Un profilo iniziale incompatibile a un estremo, come una barra uniforme tra due blocchi di ghiaccio, si adatta subito in quel punto.