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Analisi a più variabili · Derivata parziale

Derivata parziale

La derivata parziale di f(x, y) rispetto a x, ∂f/∂x, è il tasso di variazione di f al variare di x, mantenendo y fisso. Sulla superficie z = f(x, y) è la pendenza della curva ottenuta dal taglio con il piano y = costante.

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La derivata parziale in questa visualizzazione

Per una funzione di due variabili f(x,y)f(x, y), la derivata parziale rispetto a x in (a,b)(a, b), scritta ∂f/∂x\partial f/\partial x o fxf_x, è la derivata ordinaria della funzione a una variabile x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b) in x=ax = a: y resta fisso e cambia solo x. La derivata parziale rispetto a y mantiene x fisso nello stesso modo. Questa pagina le mostra entrambe su sei superfici.

Derivata parziale
∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a,b)h=ddxf(x,b)∣x=a\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

Si scrive anche fx(a,b)f_x(a, b) (oppure fx′(a,b)f'_x(a, b)) e il punto (a,b)(a, b) come (x0,y0)(x_0, y_0). La superficie trasparente è il grafico di z=f(x,y)z = f(x, y), con la mappa delle curve di livello sul piano inferiore. Il piano verticale y=by = b passante per il punto blu P taglia la superficie lungo una curva, la sezione: il grafico di x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b). La freccia grigia è un passo di 1 nella direzione x; il dislivello dalla sua punta alla tangente blu, una variazione verticale con segno (positiva verso l’alto, negativa verso il basso), è ∂f/∂x\partial f/\partial x, la pendenza della sezione in P. La finestra sulla vista disegna la stessa sezione come un grafico ordinario. Scegliere ∂f/∂y\partial f/\partial y ruota il piano in x=ax = a.

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Cosa osservare

  • Una derivata parziale può dipendere da entrambe le coordinate di P, compresa quella mantenuta fissa. Sposta la sezione e la curva cambia, e con essa può cambiare la pendenza: su f=xy/4f = xy/4 ogni sezione lungo x è una retta e la sua pendenza ∂f/∂x=y/4\partial f/\partial x = y/4 dipende solo dalla sezione scelta.
  • ∂f/∂x=0\partial f/\partial x = 0 dice solo che la sezione lungo x è orizzontale in P. Dove una funzione differenziabile ha un massimo o minimo locale in un punto interno del dominio, entrambe le derivate parziali sono 0; ma da solo non basta: anche in un punto di sella sono entrambe 0.
  • Il dislivello si misura sulla tangente, non sulla superficie: su un passo hh la sezione stessa varia di circa h ∂f/∂xh\,\partial f/\partial x, con una corrispondenza migliore quanto più piccolo è hh.
  • La vista 3D mantiene le proporzioni reali, con z sulla stessa scala di x e y, ma quanto ripida appare una retta sullo schermo dipende dall’angolo di osservazione. La finestra della sezione la mostra frontalmente con scale uguali, quindi lì le pendenze si confrontano direttamente.
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Dove si usa

  • Insieme le due derivate parziali formano il gradiente ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). Dove f è differenziabile, le due tangenti mostrate con la leva su Entrambe appartengono al piano tangente z=f(a,b)+fx (x−a)+fy (y−b)z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b). L’esistenza di entrambe le derivate parziali da sola non basta a garantire un piano tangente.
  • Ogni volta che una grandezza dipende da più altre, una derivata parziale misura la risposta a una di esse tenendo fisse le restanti, per esempio quanto rapidamente cresce la pressione di un gas con la temperatura a volume costante.
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Comandi

  • Trascina P sulla superficie o la sua proiezione sulla mappa. I punti notevoli portano a valori esatti; in un punto critico notevole entrambe le derivate parziali sono esattamente 0.
  • La leva in Sezione sceglie quale variabile cambia: ∂f/∂x\partial f/\partial x fissa y e seziona lungo x, ∂f/∂y\partial f/\partial y fissa x e seziona lungo y, mentre al centro, Entrambe, mostra le due sezioni insieme. Grafico della sezione apre o chiude la finestra; con una sola sezione, puoi trascinare P lungo di essa anche lì. Delle due rotelle in Punto, una sposta P lungo la sezione e l’altra sposta il taglio. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (← → spostano P lungo la sezione, ↑ ↓ spostano il taglio, X, Y e B muovono la leva, H nasconde le risposte).
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Partial derivative (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (Inglese).