المشتقة الجزئية

المشتقة الجزئية في هذا التصوّر

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

• قد تعتمد المشتقة الجزئية على إحداثيي P كليهما، بما فيهما المثبَّت. حرّك المقطع فيتغيّر المنحنى، وقد يتغيّر ميله معه: على $f = xy/4$ يكون كل مقطع على امتداد x مستقيمًا، ويعتمد ميله $\partial f/\partial x = y/4$ فقط على المقطع الذي تختاره.
• لا تقول $\partial f/\partial x = 0$ إلا إن المقطع على امتداد x أفقي عند P. حيث تكون لدالة قابلة للاشتقاق قيمة عظمى أو صغرى محلية عند نقطة داخلية من مجالها، تكون المشتقتان الجزئيتان 0؛ لكن هذا وحده لا يكفي: فعند نقطة السرج تساويان 0 أيضًا.
• يُقاس الارتفاع على المماس، لا على السطح: على خطوة $h$ يتغيّر المقطع نفسه بنحو $h\,\partial f/\partial x$، ويزداد التقريب دقة كلما صغرت $h$.
• يحافظ العرض ثلاثي الأبعاد على النسب الحقيقية، فمقياس z هو مقياس x وy نفسه، لكن الميل الظاهر على الشاشة يعتمد على زاوية النظر. تعرض نافذة المقطع منحناه مواجهةً وبمقياسين متساويين، فتُقارن الميول فيها مباشرة.

أين تُستخدم؟

• تشكّل المشتقتان الجزئيتان معًا التدرّج $\nabla f = (f_x, f_y)$. حيث تكون f قابلة للاشتقاق، يقع المماسان المعروضان عند وضع الذراع على كلاهما في المستوى المماس $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$. وجود المشتقتين الجزئيتين وحده لا يكفي لوجود مستوى مماس.
• كلما اعتمدت كمية على عدة كميات أخرى، تقيس المشتقة الجزئية استجابتها لتغيّر إحداها مع ثبات البقية، مثل معدل ارتفاع ضغط الغاز مع درجة الحرارة عند ثبات الحجم.

أدوات التحكم

• اسحب P على السطح أو مسقطها على الخريطة. تنقل مفاتيح النقاط المميّزة إلى قيم دقيقة؛ وعند نقطة حرجة مميّزة تكون المشتقتان الجزئيتان 0 بالضبط.
• يختار الذراع في المقطع المتغير الذي يتغيّر: تثبّت $\partial f/\partial x$ المتغير y وتقطع على امتداد x، وتثبّت $\partial f/\partial y$ المتغير x وتقطع على امتداد y، ويعرض الوسط، كلاهما، المقطعين معًا. يفتح رسم المقطع النافذة أو يغلقها؛ وعند إظهار مقطع واحد يمكن أيضًا سحب P عليه هناك. من العجلتين في النقطة، تحرّك إحداهما P على المقطع والأخرى مستوى القطع. يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يحرّك ← → النقطة P على المقطع، ويحرّك ↑ ↓ مستوى القطع، وتبدّل X وY وB الذراع، ويخفي H النتائج).

موضوعات ذات صلة