المشتقة

المشتقة في هذا التصوّر

ما الذي تلاحظه؟

• في $x^2$ و$x^3 - 3x$ و$\sin x$ و$e^x$، يقترب الميل من العدد نفسه من الجهتين.
• $|x|$ عند 0: تقترب الجهتان من $-1$ و$+1$. لا توجد مشتقة عند الزاوية، رغم اتصال الدالة هناك.
• $x^{2/3}$ عند 0: $-\infty$ و$+\infty$، وهي نقطة حادة.
• $\sqrt[3]{x}$ عند 0: تنمو القيم بلا حدّ من الجهتين. المماس رأسي، لذا لا توجد مشتقة منتهية.
• مثال القفزة عند 1: الدالة غير المتصلة عند نقطة لا يمكن أن تكون قابلة للاشتقاق فيها.

تطبيقات

• السرعة مشتقة الموضع، كما في وضع الحركة. وبوجه عام تعبّر المشتقة عن معدل تغيّر أي كمية: التكلفة الحدّية في الاقتصاد، ومعدل التفاعل في الكيمياء، ومعدل النمو في الأحياء.
• قرب $a$ يعطي المماس أفضل تقريب خطّي، $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$. وتعتمد طريقة نيوتن لحل المعادلات على مماسات كهذا.
• عند قيمة عظمى أو صغرى داخل فترة، تحقق الدالة القابلة للاشتقاق $f' = 0$: وهذه طريقة التفاضل في البحث عن القيمة المثلى.

عناصر التحكّم

• اسحب Q، أو استخدم منزلق |h| أو زر h → 0 في اللوحة، لتغيير $h$. يحدّد يسار / يمين الإشارة.
• اسحب P أو أدر مقبض النقطة لتحريك $a$. اسحب الخلفية لتحريك العرض، واستخدم + و− للتكبير والتصغير.
• يفتح قارن وسجّل نافذة ترسم ميل القاطع مقابل $h$ من الجهتين، وتجمع القيم الناتجة أثناء الاقتراب. يستمر التسجيل حتى عندما تكون النافذة مغلقة.
• يحوّل وضع الحركة المنحنى إلى موضع $s(t)$: يصبح ميل القاطع سرعة متوسطة، والمشتقة سرعة لحظية $v(t) = s'(t)$.
• يفتح وضع العرض شاشة كاملة لأجهزة الإسقاط، بخط كبير وتحكّم بلوحة المفاتيح (المسافة تشغّل h → 0، وPage Up وPage Down يتنقّلان بين المشاهد المختارة، وH يخفي المشتقة).

مفاهيم ذات صلة