导数：交互演示

01

导数与本页画面

函数 $f$ 在点 $a$ 处的导数记作 $f'(a)$ ，或 $x = a$ 处的 $\frac{df}{dx}$ ，是函数图像在这一点切线的斜率，也就是 $f$ 的瞬时变化率。它定义为割线斜率的极限。本页在光滑曲线、角点、尖点、竖直切线、跳跃间断点，以及位移–时间图像上演示这个极限。

蓝色的点 P 在曲线上 $x = a$ 处，红色的点 Q 在 $x = a + h$ 处。过这两点的黄色直线是割线，它的斜率是差商：

差商

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

P 处的切线：当下面的极限存在且有限时，它的斜率就是导数：

导数

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Q 向 P 靠近时，割线转向切线，斜率趋向 $f'(a)$ 。Q 从左侧还是右侧靠近，极限都必须相同。页面不允许 $h$ 取到 0，因为那时差商是 $0/0$ 。把 $a$ 记作 $x_0$ 、 $h$ 记作 $\Delta x$ ，导数也写作 $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

02

值得注意

在 $x^2$ 、 $x^3 - 3x$ 、 $\sin x$ 、 $e^x$ 上，两侧的斜率趋向同一个数。
$|x|$ 在 0 处：两侧分别趋向 $-1$ 和 $+1$ 。角点处函数连续，却没有导数。
$x^{2/3}$ 在 0 处：分别趋向 $-\infty$ 和 $+\infty$ ，是尖点。
$\sqrt[3]{x}$ 在 0 处：两侧都无限增大。切线竖直，没有有限的导数。
跳跃的例子在 1 处：不连续的函数不可能可导。

03

用途

速度是位移对时间的导数，就像本页的“运动”模式。一般地，导数是任何量的变化率：经济学里的边际成本、化学里的反应速率、生物学里的增长率。
在 $a$ 附近，切线是最好的直线近似： $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ 。解方程的牛顿法就是沿着这样的切线一步步逼近。
可导函数在区间内部取得最大值或最小值的点，导数为 0：微积分就是这样找最优值的。

04

操作

拖动 Q，或用面板里的|h|推子或h → 0按钮改变 $h$ ；“左侧／右侧”决定 h 的正负。
拖动 P 或转动“位置”旋钮改变 $a$ 。拖动背景平移，用 + 和 − 缩放。
“两侧与记录”小窗画出两侧割线斜率随 $h$ 的变化，也收存逼近过程留下的数值；关上小窗仍会记录。
切换到“运动”后，曲线表示位置 $s(t)$ ：割线斜率成为平均速度，导数成为瞬时速度 $v(t) = s'(t)$ 。
“演示模式”打开适合投影的全屏视图：字号放大，可以用键盘操作（空格执行 h → 0，翻页键切换精选视角，H 隐藏导数）。

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导数与本页画面

值得注意

用途

操作

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