极限

函数$f$在点a处的极限是L，记作$\lim_{x\to a} f(x) = L$，意思是：只要x离a足够近，f的值就能和L近到任何要求的程度——而且从来不看x = a这一点本身。精确的说法是ε–δ定义（柯西、魏尔斯特拉斯）：一方给出挑战ε，另一方回应δ。

图上的挑战是蓝线y = L两侧半宽为ε的红色带子；带子的虚线边不算在带内，因为不等式是严格的。回应是a两侧半宽为δ的黄色窗口，a处留一条缝：条件$0 < |x - a|$把x = a排除在外，所以a处有洞、或f(a)另有定义，都不影响极限。窗口里的曲线全在带内，这个δ就可用；否则黄色×标出一个越出带子的点。单侧极限（x → a⁻或a⁺）只用窗口的一半。极限存在时是唯一的：两个不同的值不可能都留在每一条带子里。

页面给出两种δ。保证可用的δ来自一条对窗口里每个x都成立的不等式，所以它就是证明：x²、可去间断、跳跃、sin(1/x)、1/x²的最大δ有闭式，它本身就是保证；x·sin(1/x)由$|x\sin(1/x)| \le |x|$在0处得到δ = ε，sin x / x由$1 - x^2/6 \le \sin x / x < 1$得到$\delta = \sqrt{6\varepsilon}$。这两个函数的最大δ是数值结果：沿曲线在相邻的拐点之间逐段走，每次越过带子边线的位置用二分法求出。更小的δ也都可用，δ从来不唯一。