局部线性化

在点$a$附近用切线$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$近似函数$f$，叫作局部线性化，也叫线性近似或切线近似。它要求$f$在$a$处可导。也常写成$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$，其中$x_0$就是本页的$a$。本页用七个函数演示：四个光滑函数，三个在0处不可导的函数。

图像在水平方向以蓝色的点P$= (a, f(a))$为中心，两轴比例相同。红色的增量Δx同时控制放大：画面随它缩小，并按需要伸展，让P、切线的升高和Q都留在画面里。在这一步里，切线升高蓝色的微分$dy = f'(a)\,\Delta x$，曲线升高$\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$。黄色箭头是两者之差，即误差：

函数在$a$处可导（一元函数可导与可微等价），当且仅当存在有限的数$m$，使$f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$，即$h$从两侧趋于0时，误差除以$h$趋于0；这时$m = f'(a)$。本页只画向右的一步（$h = \Delta x > 0$），画面是演示而不是证明；哪里有切线，由每个函数的表达式决定。画面随$\Delta x$一起缩小，$|E|/\Delta x$大致就是在Q处、以画面大小为单位，曲线离开切线的距离，所以可导的曲线越放大越直。若$f''(a) \ne 0$，则$\Delta x$很小时$E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$，此后每放大十倍，误差约缩小到百分之一。在$f''(a) = 0$的点，比如$\sin x$在0处，误差缩小得更快。