切平面：三维交互演示

01

切平面与本页画面

若 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 处可微，曲面 $z = f(x, y)$ 在这一点就有切平面：它是线性近似（线性化）函数 $L$ 的图像，由两个偏导数确定；越靠近这一点，曲面贴它贴得越紧。点 $(a, b)$ 也常记作 $(x_0, y_0)$ 。

切平面

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

玻璃曲面是f的图像，蓝色薄片是 P 点处的平面，薄片上的两条蓝线是曲面过P的两条截线（沿x方向和沿y方向）在P点的切线，它们张成这个平面。地图上的红色正方形是 $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ 。w变小时，画面以P为中心放大，x、y、z三个方向放大倍数相同。黄色线段标出正方形（在定义域内的部分）上曲面与平面在竖直方向的最大高度差，它是在一张细网格上估计出来的，读数把它除以w。可微的意思正是这个比值趋于0，也就是最大高度差是o(w)：

在(a, b)处可微

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

02

值得注意

f在P点的二阶部分不为零时（如山丘，波浪的大多数点），w足够小以后高度差按 $w^2$ 缩小，所以每放大10倍，比值大约缩小到十分之一；碗面和鞍面在每一点都恰好如此。二阶部分为零时缩小得更快：在波浪的原点，每放大10倍比值缩小到百分之一。
只有偏导数还不够。“折面”是本页给一个常见反例 $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ （ $f(0, 0) = 0$ ）起的名字，它在原点的两个偏导数都是0，给出平面 $z = 0$ ，但放大多少倍，最大高度差都是 $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ ，出现在正方形的四个角上：原点处没有切平面。锥面的尖顶连偏导数都不存在。除原点外，这两个曲面处处可微。
切平面可以穿过曲面：鞍点处的切平面是水平的，曲面沿一个方向在它上方，沿另一个方向在它下方。
三维视图是透视画法，屏幕上的倾斜程度会随视角变化。读数里平面方程的数字是四舍五入后的（≈），最大高度差是采样估计，不是上界。

03

用途

线性近似：在 $(a, b)$ 附近 $f(x, y) \approx L(x, y)$ ，函数的改变量近似为全微分 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ 。向量 $(f_x, f_y, -1)$ 是切平面的法向量。
数值方法用局部的导数信息构造迭代的每一步：解方程组的牛顿法求解线性化后的方程，梯度下降法沿梯度走，而梯度就是切平面的倾斜方向。

04

操作

把推子推向0.001就是放大；按 w → 0 每次放大十倍。在整张曲面的视图上（w = 1）可以在曲面上或地图上拖动P点；滚轮和关键点在任何放大倍数下都能移动它。截线显示两条截线和它们的切线；地图显示当前位置。
演示模式打开适合投影的全屏视图（空格放大，← →把w乘或除以10，H隐藏答案）。

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切平面与本页画面

值得注意

用途

操作

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