泰勒级数

泰勒级数与本页画面

值得注意的现象

• 在收敛半径以内，本页的部分和收敛到$f$，所以在这样的每个$x$处，误差随$n$增大趋于0，但不一定每加一项都变小。越过收敛半径，通项不趋于0，$P_n(x)$不会稳定下来。黄色条只会逐渐接近$R$：它是在屏幕上测出来的，$R$则来自公式。
• 函数在整条实数轴上光滑，收敛半径也可能有限。$1/(1 + x^2)$在复数点$\pm i$处没有定义，所以它在$a$处的泰勒级数只在$|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$内收敛。
• 收敛区间的端点要单独判断：$\ln(1 + x)$在0处的级数在$x = 1$收敛（和为$\ln 2$），在$x = -1$发散；$1/(1 - x)$的级数两端都发散，$\sqrt{1 + x}$的级数两端都收敛。
• 在$a = 0$处，$\sin x$只有奇次项，$\cos x$只有偶次项，所以正弦的$P_{2m}$与$P_{2m-1}$是同一个多项式。n → ∞会跳过这些为零的项，每一步都让曲线发生变化。
• 级数收敛，和也不一定是$f$。函数在$x \ne 0$时等于$e^{-1/x^2}$、在0处等于0，它在0处的各阶导数都是0，所以它在0处的泰勒级数对所有$x$都等于0。

用途

• 物理中常在一点附近只保留前几项：单摆小角度摆动时$\sin\theta \approx \theta$；低速时$(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$，相对论动能就变成$\tfrac12 mv^2$。
• 余项告诉我们计算要取多少项：把$1/k!$从$k = 0$加到$10$（即$e^x$的$P_{10}(1)$，共11项），得到的$e$误差就已小于$3 \times 10^{-8}$。

操作

• 转动次数旋钮，或按n → ∞把下一个非零项一项一项加上去，最多到$n = 30$（到顶后再按，从0重放）。拖动蓝点或横轴上的标记移动展开点；常用展开点的按键会跳到精确值。
• 图下方的误差条用对数刻度显示$|f - P_n|$。演示模式打开适合投影的全屏视图（空格逐项增加，← →改变次数，H隐藏收敛半径）。

相关概念