复平面

复平面（也叫阿尔冈图、高斯平面）把复数$a + bi$画成点$(a, b)$：实部向右，虚部向上。它到0的距离是模$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，它的方向是辐角$\arg z$，即从正实轴量起的角；本页取主值，在$(-180^\circ, 180^\circ]$内，0没有辐角。于是$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$，这是极式。本页演示加上、乘以、反复乘以一个复数$w$对整个平面做了什么。

乘以$w$，1到了$w$，$i$到了$iw$，也就是$w$转过90°。淡色的单位方格被带到由$w$和$iw$撑起的黄色方格：整个平面绕0转过$\arg w$、放大$|w|$倍，所以像方格永远是正方格。点z = $a + bi$在方格里的地址不变，所以$zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$，打开“分量分解”可看到两条走法。设$w = c + di$，则$iw = -d + ci$：$w$转过四分之一圈，虚部$d$转到了负实轴上，这就是公式里的$-bd$，也就是$i^2 = -1$留下的痕迹。三角形0–1–$z$与0–$w$–$zw$相似（$w \ne 0$），所以模相乘、辐角相加；辐角之和超过180°时减去360°。乘以0把所有点都送到0。除以$w \ne 0$就是反过来：转回$\arg w$，缩小$|w|$倍。

“加法”把整个平面平移$w$（平行四边形0、$z$、$w$、$z + w$），且$|z + w| \le |z| + |w|$，只有$z$、$w$同方向时取等号。“连乘”标出$z, zw, zw^2, \dots$：每一步转过$\arg w$、伸长$|w|$倍，所以这些点落在一条等角螺线上。$|w| = 1$且$\arg w$是一圈的$p/q$时，它们每$q$步回到起点（从1出发就是$q$次单位根）；$w = e^{i\cdot 1}$时永远回不来，因为$1/2\pi$是无理数。