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三角与预备微积分 · 单位圆

单位圆

单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆，圆上角θ处的点就是(cos θ, sin θ)。拖动它，看正负号、特殊值和tan怎样从图里来。

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单位圆与本页画面

单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆，方程是x2+y2=1x^2 + y^2 = 1。角θ\theta从x轴正半轴量起，正角按逆时针方向；它的终边与单位圆交于一点P，余弦和正弦就定义为这一点的横、纵坐标。这样定义对任何角都成立——钝角、负角、超过一圈的角都可以，不只是直角三角形里的锐角。cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0时，正切是两者的商。本页每个角同时写弧度和度，如θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ。

定义，和圆的方程
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

画面上，从O到(cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0)、再向上或向下到P的参考三角形，两条直角边就是cos θ和sin θ，按有向位移计：向右、向上为正，向左、向下为负。直线OP与竖直线x=1x = 1交于T=(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta)，所以tan θ就是OP的斜率；θ=π/2+nπ\theta = \pi/2 + n\pi时两线平行，tan θ不存在。cos θ > 0时T在射线OP上，cos θ < 0时T在O的另一侧、OP的反向延长线上，也就是sec θ < 0；这时tan θ可正可负（210°时是√3/3）。P在圆上，所以cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1就是这个圆自己的方程。P关于两条坐标轴和原点的对称点，是π−θ\pi - \theta、π+θ\pi + \theta、−θ-\theta的终点：同一个三角形，只是正负号不同，诱导公式（如sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta）就从这里来。相差整数圈的角（终边相同的角，如13π/613\pi/6和π/6\pi/6）终点相同，所有三角函数值都相同。

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值得注意的现象

  • 16个特殊角（30°和45°的整数倍）的精确值来自两块三角板：30°、60°来自半个等边三角形，45°来自等腰直角三角形。到达30°、45°、60°这一类角时，画面自动画出数值背后的那个三角形：三角形给出绝对值（30°时弦PP′长1，|sin θ|是它的一半），象限决定正负号。用π的分数或度数键入的角按精确值保存；只有特殊角写成3/2\sqrt{3}/2这样的精确式，其余的值一律是标着≈的小数。
  • 打开六个函数，U是直线OP与y=1y = 1的交点：cot θ是y = 1上到U的一段，sec θ、csc θ是有向长度OT、OU——T或U在O的另一侧、落在OP的反向延长线上时为负。tan和sec在π/2+nπ\pi/2 + n\pi处不存在，cot和csc在nπn\pi处不存在。
  • 比例是固定的，不随tan的大小自动缩放。T（或U）超出画面时，画面边上的箭头指向它并写出它的位置；读者仍可以等比缩放。角弧超过一圈时向外盘成螺旋，表示绕了几圈——向外扩本身没有含义；超过三圈只画最后一圈，其余写成圈数（“+4圈”“−2圈”）。
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操作

  • 点击角度下方的0°、30°、45°、60°、90°数值键，可以精确到达对应角度。拖动P经过特殊角附近时会被吸住，继续拖就松开。点圆上特殊角的点，P沿较近的一边滑到那里。角度可以键入弧度（2π/3，或2.0944这样的小数，小数仍按小数处理）或度（120°），范围是−20π到20π；P的方向键每次走1°。
  • 演示模式打开适合投影的全屏视图：← →逐个走过特殊角，H隐藏所有数值，画面保留。
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相关概念

延伸阅读：维基百科：单位圆；OpenStax：Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle（英文）。