曼德博集合

曼德博集合与本页画面

曼德博集合$M$是让下面这个数列保持有界的复数$c$组成的集合。一旦$|z_n| > 2$，数列就会跑到无穷远，所以$c$属于$M$当且仅当对每个$n$都有$|z_n| \le 2$。

两个画面上是什么

大图是c平面：每一点是一个$c$，颜色表示从0出发的数列多快离开半径2的圆。平滑的颜色只是显示效果。黑色表示“迭代上限$N$步内没有逃逸”——这是数值判定，不是证明了$c$在集合里。

小屏是z平面：对红色十字所在的$c$，每一点是一个起点$z_0$，黑色是填充朱利亚集$K_c$，也就是轨道保持有界的那些起点（逃逸半径$\max(2, |c|)$）。黄色的点是0的轨道：它在z平面里，不在参数之间。点z平面上任一点，轨道就从那里出发。

为什么是这个样子

红键一级一级显示$L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$：$n$逐级增大，从哪一级开始、隔几级显示，按当前画面选，最后显示到$N$。每一层都在上一层里面（$L_1$就是半径2的圆盘），$M$是它们共同的部分。

大的心形是$z^2 + c$有吸引不动点的地方：$c = \mu/2 - \mu^2/4$，$|\mu| < 1$。它左边的圆盘$|c + 1| < 1/4$是有吸引两点循环的地方。在分数$p/q$（既约）处直接长在心形上的每个芽里，都有周期为$q$的吸引循环；芽的天线在主结点处分成$q$条辐条（包括连回芽的那一条）。

Douady和Hubbard在1982年证明了$M$是连通的。更早，Fatou和Julia证明了：$z^2 + c$的朱利亚集连通，当且仅当0的轨道有界。所以$M$也是朱利亚集连成一片的那些$c$；$c$在$M$外时，朱利亚集碎成尘埃。

容易误读的地方

• 黑色是“$N$步内没有逃逸”。在边界附近，加大$N$可能让黑色的像素变成彩色。
• 看上去分开的小岛，其实都由细到看不见的细丝连在主体上。
• 小复制品不是一模一样的缩小版：每一个都有变形，周围也不一样。
• 轨道只画在z平面里；c平面上只有参数，没有轨道。

来历

1918–1920年，Fatou和Julia建立了有理函数迭代的理论 [1, 2]。Brooks和Matelski给出了这个集合早期的计算机图像，论文发表于1981年 [3]。1980年，Mandelbrot发表了复二次迭代的计算机图像 [4]。1982年，Douady和Hubbard证明了它是连通的；他们以Mandelbrot的名字命名了它 [5]。

相关概念

朱利亚集 · 逻辑斯蒂映射 · 牛顿分形（页面筹备中）· 复数

参考文献

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

延伸阅读：维基百科：曼德博集合；MacTutor数学史：Benoit Mandelbrot（英文）。