朱利亚集

朱利亚集与本页画面

对固定的复数$c$，填充朱利亚集$K_c$是让下面这个数列保持有界的起点$z_0$组成的集合；一旦$|z_n| > \max(2, |c|)$，数列就会跑到无穷远。朱利亚集$J_c$是$K_c$的边界：它的每一点附近，既有逃逸的起点，也有不逃逸的起点。

两个画面上是什么

大图是z平面：每一点是一个起点$z_0$，颜色表示它的轨道多快逃逸。平滑的颜色只是显示效果。黑色表示“迭代上限$N$步内没有逃逸”——这是数值判定。尘埃那几个视角和$c = i$的树枝面积为0，那里几乎每个像素都会逃逸，所以按距离估计离$K_c$不到半个像素的点也涂深，好让人看见它：这同样只是显示加工。

面板里的小屏是c平面：曼德博集合，红色十字标着本页的$c$。拖动十字或点一下，就换一个$c$。大图里黄色的点是0的轨道（或者你点的那个起点的轨道）。

为什么是这个样子

红键逐级画出满足$|z_n| \le R$的起点，$R = \max(2, |c|)$，$n = 1, 2, 3, \ldots$：每一层都在上一层里面，一层层收紧到$K_c$。每一层是上一层在$z \mapsto z^2 + c$下的原像；圆盘的原像连成一片，当且仅当圆盘包含临界值$c$。所以只要0的轨道还在半径$R$以内，各层都连成一片；从它跑出去的那一步起，区域分成2块、4块、8块……

这就是Fatou和Julia关于$z^2 + c$的定理 [1, 2]：0的轨道有界时$K_c$连通；逃逸时$K_c$是完全不连通的“尘埃”（康托集）。曼德博集合正是让$K_c$连通的那些$c$。

吸引循环一定吸引0的轨道，所以$z^2 + c$至多有一个吸引循环：$K_c$黑色的内部都流向它。在尖点$c = 1/4$和$c = -3/4$，循环是抛物的；在主心形边界上黄金分割角的那一点，不动点周围是西格尔圆盘，轨道在里面永远转圈 [3]。这几种情形都没有吸引循环；默认设置下，页面上的周期读数是“未判定”（$N$很大时，数值检测可能把缓慢的趋近误认成循环）。

容易误读的地方

• 黑色是“$N$步内没有逃逸”。在边缘附近，加大$N$可能让黑色的像素变成彩色。
• 尘埃和树枝上的深色是距离估计，不是保持有界的点：$c$在曼德博集合外时，$K_c$的面积是0。
• 刚出边界时，尘埃看上去还像熟悉的形状（尖点外一点点），但它已经碎成无穷多块。
• c平面上只有参数；轨道在z平面里。

来历

1918–1920年，Gaston Julia和Pierre Fatou在还没有计算机图像的年代建立了有理函数迭代的理论 [1, 2]。1942年，Carl Ludwig Siegel证明了有些中性不动点周围有一圈轨道永远转圈的圆盘 [3]。1980年以后的计算机图像和Douady、Hubbard的工作，让这些集合广为人知 [4]。

相关概念

曼德博集合 · 牛顿分形（页面筹备中）· 复数

参考文献

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Annals of Mathematics 43 (1942) 607–612. doi:10.2307/1968952
4. J. Milnor, Dynamics in One Complex Variable, 3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press (2006).

延伸阅读：维基百科：朱利亚集合；MacTutor数学史：Gaston Julia（英文）；MacTutor数学史：Pierre Fatou（英文）。