逻辑斯蒂映射

逻辑斯蒂映射与本页画面

逻辑斯蒂映射是区间$[0, 1]$到自身的映射$f(x) = r x (1 - x)$，参数$0 \le r \le 4$。从起点$x_0$出发反复做$x_{n+1} = f(x_n)$，得到一列数；本页看的是这列数的长期行为怎样随$r$变化。

画面上是什么

大图是分岔图：横轴是$r$，纵轴是$x$。每一列取这一列中点的$r$，从$x_0 = 1/\pi$出发，丢掉前$T$步，记下接下来$K$步落在哪里，落得越多越亮；$T$和$K$写在画面右上角，放大时自动加大。所以每一列是一个起点的长期样本，不是一条轨道的全过程。“典型起点”指几乎所有起点（按长度计）；本页用$1/\pi$代表它们，但并没有证明它对每个$r$都典型。

分岔图下面是λ条，和它共用$r$轴：李雅普诺夫指数$\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$的数值估计（同一个典型起点，丢掉前1000步，平均4000步）。它是两个起点之间无穷小差别平均的指数增长率：$\lambda < 0$时这样的差别平均越来越小，$\lambda > 0$时越来越大。在超稳定参数处（$\tfrac12$在吸引周期上）$\lambda = -\infty$，画成向下的箭头，旁边的数是周期，箭头的位置是数值求出的超稳定参数。

面板最上面是蛛网图：曲线$y = f(x)$（或$f^2$、$f^3$、$f^4$）和对角线$y = x$。从$x_0$竖直走到曲线、再水平走到对角线，就是迭代一步。实心点是吸引的不动点，空心点是排斥的。

时间序列一键打开：$x_n$随$n$变化，右边是这条轨道$10^5$步落在40格里的比例；$r = 4$时墨线是每格的理论概率。

为什么是这个样子

不动点$x^* = 1 - 1/r$处的斜率是$f'(x^*) = 2 - r$。$1 < r < 3$时$|f'(x^*)| < 1$，它吸引附近的点；$r$过3，$f'(x^*)$过$-1$，它不稳了，旁边长出一个两周期$\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$，乘子$4 + 2r - r^2$。这两个点就是$f^2$和对角线新的交点：把蛛网图切到$f^2$就能看见。两周期在$r = 1 + \sqrt6$时乘子到$-1$，又一分为二。

倍周期一级比一级来得快，在$r_\infty \approx 3.5699$处累积。相邻两段间隔之比趋于费根鲍姆常数$\delta \approx 4.6692$。它不只属于这个映射：带一个二次极大值的一大类单峰映射都是这个数（Feigenbaum在1978年发现，后来Lanford借助计算机给出了证明）。

混沌里的窗口：$r$过$1 + \sqrt8 \approx 3.8284$时，$f^3$和对角线相切，一对三周期诞生，一个吸引、一个排斥（鞍结分岔，乘子$+1$）。窗口里又有它自己的倍周期级联。

$r = 4$时，$f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$：令$x = \sin^2(\pi u)$，倍增映射$u \mapsto 2u \bmod 1$就被带到$f$上（这是半共轭：$u$和$1 - u$给出同一个$x$）。由此可以精确算出典型起点的长期分布$\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$，以及$\lambda = \ln 2$。

看起来混沌的区域里仍有周期窗口。存在吸引周期时，典型起点趋向它；其他情况下，图中的一列是指定初值的长期样本，不能代表所有起点的结局。

容易误读的地方

• 分岔图的一列不是一条轨道的历史，而是丢掉过渡以后的长期样本；过渡很慢的地方（分岔点附近）看上去会糊。
• “长期”一行里的周期是数值判定：连续三个窗口里重复、增加计算步数后结果不变、乘子的绝对值小于1。浮点里出现重复，不等于真有吸引周期；判不准就写“未判定”。
• λ的正负不是万能的分类器：$r = 4$、$x_0 = 3/4$时轨道一步也不动，沿这条轨道算出的λ却也是$\ln 2$。
• 特殊的起点有自己的结局：$r = 4$时$x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$，停在0。这样的起点合起来长度为0，所以关于“典型起点”的说法不受影响。

来历

“逻辑斯蒂”这个名字来自Verhulst在1838年提出的人口增长微分方程。1976年，May在《Nature》上用这个离散映射说明，简单的模型可以有极复杂的行为 [1]。Ulam和von Neumann在1947年已经注意到$r = 4$时的不变分布 [2]。1978年，Feigenbaum发现了倍周期级联里的普适常数 [3]；同年，辛格给出了吸引周期至多一个的判据 [4]。

相关概念

曼德博集合 · 洛伦兹吸引子 · 傅里叶级数（页面筹备中）

参考文献

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

延伸阅读：维基百科：逻辑斯谛映射；MacTutor数学史：Robert May（英文）；MacTutor数学史：Mitchell Feigenbaum（英文）。