洛伦兹吸引子：交互式探索

洛伦兹吸引子与本页画面

洛伦兹方程组是三个常微分方程，Edward Lorenz在1963年从一个对流模型中提炼出来 [1]。本页固定 $\sigma = 10$ 、 $\beta = 8/3$ ，让你转动 $\rho$ （加热强度）。 $\rho = 28$ 时，几乎所有解最终都缠绕在同一个有界的、蝴蝶形的集合上，既不停下也不重复：这就是洛伦兹吸引子。

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

画面上是什么

大图是三维相空间：每一点是一个状态 $(x, y, z)$ 。淡灰色是从 $(1, 1, 1)$ 出发的一条长轨迹；移动的点和它的尾巴是参考轨迹；蓝圈是放出点。拖动转动视角；点那条尾巴，选下一次放出的地方。

红键放出在放出点周围放出一团起点，每一个都和放出点恰好相差 $\varepsilon$ 、方向各不相同，然后跟着它们一起走。点的颜色表示它离参考轨迹多远。这颜色、光晕、拖尾、远侧变暗，以及放出前那层淡淡流动的点，都只是显示效果。

面板顶上的小屏：上面是参考轨迹和一条起点差 $\varepsilon$ 的轨迹的 $x(t)$ ——两份“预报”；黄线标出这两条的 $x$ 第一次相差超过1的时刻（每0.005个时间单位检查一次；这是这里选定的“预报分开”的标准，不是系统固有的可预测期限）。下面是 $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ ，各点离参考轨迹的距离放大倍数的对数平均（轴上标的是倍数），带状区域是各点的第10到第90百分位；读数里的“典型距离”是各点距离的几何平均。 $\rho = 28$ 时，虚线画出斜率 $\lambda \approx 0.906$ （长期平均），只画到距离接近吸引子大小之前。

重放用同一个放出点、同一组方向、同一个随机种子，按现在的 $\varepsilon$ 再放一次；上一次的曲线淡淡地留着对照。只有这样重放，比较两个 $\varepsilon$ 才公平。

为什么会这样

拉伸和折叠：在吸引子附近，相邻的状态在一个方向上被拉开，在另一个方向上被压紧；流动再把拉长的薄片折回来叠在自己身上。点云把两件事都演出来——先是一根细丝，然后细丝被一遍遍折叠。

洛伦兹映射（ $\rho$ 旁边的窗口键）把一条长轨迹上每一次 $z$ 的最大值，对下一次画成一点。点落在一条细细的尖顶曲线上（Lorenz 1963，图4）——这是近似的一维描述，不是证明过的精确降维。 $\rho = 28$ 时，在尖顶以外的同一支上，采样得到的斜率绝对值都大于1，所以同一支上靠得很近的两个最大值，下一圈会离得更远（分在尖顶两侧的两点不一定）。

$\rho > 1$ 时，除了原点，另有两个不动点 $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ； $\rho < 1$ 时原点吸引所有解。 $C_\pm$ 在 $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ 处经亚临界霍普夫分岔失稳。其他行为改变的地方是数值结果：约13.926（原点的同宿分岔）、约24.06（混沌吸引子出现）[4, 5]。约24.06（数值）到 $470/19 \approx 24.74$ 之间，混沌吸引子和两个稳定的不动点同时存在；99.65在一个周期窗口里；160时解落到一条周期轨道上。

这些数是怎么来的

画面是数值近似轨迹。误差会随时间放大，因此不把长时间后的具体位置视为指定初值的可靠预测；距离增长和长期统计须分别通过步长、精度与采样检查。

每条轨迹都在你的电脑上用经典四阶龙格–库塔法积分，步长固定为0.005、与帧率无关，双精度。点云按“与参考轨迹的差”来积分，所以 $\varepsilon = 10^{-12}$ 也保得住有效数字。

你看到的散开，是同一个数值积分器下两组初值的差别；它本身不能证明原方程也这样敏感——那要靠理论（经典参数下有Tucker的证明 [2]）。通常的阴影引理不能套用到洛伦兹吸引子上 [6]。

$\lambda \approx 0.906$ 是统计估计：经典参数下的长期平均（Sprott独立计算 [3]），不是任意 $\rho$ 的常数。“精度提高十万倍，多撑约 $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ 个时间单位”是典型指数增长下的估计，单次放出可能差很多。

容易误读的地方

画面上看着交叉的线其实不相交：不同的相轨道不能横穿，同一个状态只属于一条轨道；交叉的是它们投在屏幕上的影子。
“蝴蝶效应”的名字和吸引子长得像蝴蝶是两回事：名字来自Lorenz 1972年那次讲“蝴蝶扇动翅膀与龙卷风”的报告。
Lorenz把0.506127输成0.506、预报完全不同的故事，发生在1961年他的12变量天气模型上，不是这三个方程 [7]。
$\rho = 15$ 时（ $C_\pm$ 在那里稳定），从本页的起点放出的那团点不会铺开，而是跟着轨迹一起收缩进不动点。

来历

1963年，Lorenz在Saltzman的对流模型基础上把它简化成这三个方程发表，并指出解是非周期的、对起点敏感 [1]。1982年，Sparrow的专著系统整理了行为怎样随 $\rho$ 变化 [4]。计算机上看到的吸引子对原方程是否真的存在，直到Tucker的计算机辅助证明（1999年公布，2002年完整发表）才解决 [2]。

参考文献

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

延伸阅读：维基百科：洛伦茨吸引子；MacTutor数学史：Edward Lorenz（英文）。