线性变换

平面上的线性变换（也叫线性映射）$T$对所有向量$\vec u, \vec w$和所有实数$c$满足$T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$和$T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$。每个这样的变换都是乘一个2 × 2矩阵$A$，而$A$的两列就是基向量的像：$A\hat\imath$和$A\hat\jmath$。本页演示平面到自身的变换。

画面上两根墨色箭头就是两列；拖动箭头尖，整张网格跟着变，因为每个点都按原来的配方到达。蓝色向量v走了两遍：在原网格里走x步î、y步ĵ（虚线），在新网格里走x步Aî、y步Aĵ（实线），到达Av。按行读同一个乘积——$A\vec v$的每个分量是$A$的一行点乘$\vec v$——得到同样的数。原点不动；直线映成直线或一点。变换可逆时，平行关系与同一直线上的等间距关系保持，而一般的长度和角度会变。

$\det A = 0$且$A \ne 0$时，整个平面压到一条直线上；过原点的一条直线被送到原点，这条直线是变换的核。$A = 0$时，所有点都被送到原点，核就是整个平面。选求原像后拖动输出w，看它从哪里来：可逆时只有一个点$A^{-1}\vec w$；秩为1时，w在像上就有一整条原像直线，否则没有原像；零矩阵下，原点的原像是整个平面，其他点没有原像。解方程组$A\vec x = \vec b$做的正是这件事。