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Analysis · Ableitungen

Ableitung

Eine Ableitung misst, wie schnell sich eine Funktion an einer Stelle ändert: Sie ist dort die Tangentensteigung. Bewege Q auf P zu und beobachte, ob die Sekantensteigungen gegen einen einzigen endlichen Wert streben.

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Ableitung in dieser Visualisierung

Die Ableitung einer Funktion ff an einer Stelle aa, geschrieben f′(a)f'(a) oder dfdx\frac{df}{dx} bei x=ax = a, ist die Steigung der Tangente an den Graphen: die momentane Änderungsrate von ff. Sie ist als Grenzwert von Sekantensteigungen definiert. Diese Seite zeigt diesen Grenzübergang an glatten Kurven, Knicken, Spitzen, senkrechten Tangenten und Sprüngen sowie in einem Weg-Zeit-Diagramm.

Der blaue Punkt P liegt bei x=ax = a auf der Kurve, der rote Punkt Q bei x=a+hx = a + h. Die gelbe Gerade durch beide ist eine Sekante; ihre Steigung ist der Differenzenquotient

Differenzenquotient
f(a+h)−f(a)h=ΔyΔx.\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Die Tangente bei P hat die Ableitung als Steigung, sofern dieser Grenzwert existiert und endlich ist:

Ableitung
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Wenn Q auf P zugleitet, wird die Sekante zur Tangente und ihre Steigung nähert sich f′(a)f'(a). Der Grenzwert muss gleich sein, ob Q von links oder rechts kommt. Die Seite lässt hh nie 0 werden, denn dann wäre der Quotient 0/00/0. Mit x0x_0 für aa und Δx\Delta x für hh schreibt man die Ableitung auch als f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.

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Worauf du achten kannst

  • Bei x2x^2, x3−3xx^3 - 3x, sin⁡x\sin x und exe^x nähern sich die Steigungen von beiden Seiten derselben Zahl.
  • ∣x∣|x| bei 0: Die beiden Seiten streben gegen −1-1 und +1+1. An einem Knick gibt es keine Ableitung, obwohl die Funktion dort stetig ist.
  • x2/3x^{2/3} bei 0: −∞-\infty und +∞+\infty, eine Spitze.
  • x3\sqrt[3]{x} bei 0: Beide Seiten wachsen unbegrenzt. Die Tangente steht senkrecht, daher gibt es keine endliche Ableitung.
  • Das Sprungbeispiel bei 1: Eine unstetige Funktion kann dort nicht differenzierbar sein.
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Anwendungen

  • Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes, wie im Modus Bewegung. Allgemein beschreibt die Ableitung die Änderungsrate einer Größe: Grenzkosten in der Wirtschaft, Reaktionsgeschwindigkeit in der Chemie, Wachstumsrate in der Biologie.
  • Nahe aa liefert die Tangente die beste lineare Näherung, f(a+h)≈f(a)+f′(a) hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h. Das Newton-Verfahren zum Lösen von Gleichungen folgt solchen Tangenten.
  • An einem Maximum oder Minimum im Inneren eines Intervalls gilt für eine differenzierbare Funktion f′=0f' = 0: So findet die Analysis optimale Werte.
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Bedienung

  • Ziehe Q oder nutze den |h|-Regler bzw. die Taste h → 0, um hh zu ändern. Links / Rechts bestimmt das Vorzeichen.
  • Ziehe P oder drehe den Regler Punkt, um aa zu verschieben. Ziehe am Hintergrund, um die Ansicht zu verschieben; + und − zoomen.
  • Vergleichen & aufzeichnen öffnet ein Fenster, das die Sekantensteigung gegen hh für beide Seiten aufträgt und die beim Annähern entstehenden Werte sammelt. Die Aufzeichnung läuft auch bei geschlossenem Fenster weiter.
  • Bewegung macht die Kurve zu einem Ort s(t)s(t): Die Sekantensteigung wird zur mittleren Geschwindigkeit, die Ableitung zur Momentangeschwindigkeit v(t)=s′(t)v(t) = s'(t).
  • Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren mit großer Schrift und Tastatursteuerung (Leertaste startet h → 0, Bild auf/ab wechselt die ausgewählten Ansichten, H blendet die Ableitung aus).
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Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Derivative (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Englisch).