Lineare Näherung

Die lineare Näherung einer Funktion $f$ an einer Stelle $a$, auch Tangentennäherung oder lokale Linearisierung genannt, ist die Tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Sie existiert, wenn $f$ bei $a$ differenzierbar ist. Man schreibt auch $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, mit $x_0$ anstelle von $a$. Diese Seite zeigt sie an sieben Funktionen: vier glatten und drei, die bei 0 nicht differenzierbar sind.

Die Ansicht ist horizontal um den blauen Punkt P $= (a, f(a))$ zentriert, mit gleichen Maßstäben auf beiden Achsen. Der rote Schritt Δx legt auch die Vergrößerung fest: Der Ausschnitt schrumpft mit ihm und wird bei Bedarf erweitert, damit P, der Tangentenanstieg und Q sichtbar bleiben. Über diesen Schritt steigt die Tangente um das blaue Differential $dy = f'(a)\,\Delta x$, die Kurve dagegen um $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. Der gelbe Pfeil ist der Fehler:

Eine Funktion ist genau dann bei $a$ differenzierbar, wenn es eine endliche Zahl $m$ mit $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$ gibt, also wenn der Fehler geteilt durch $h$ für $h \to 0$ von beiden Seiten gegen 0 geht; dann gilt $m = f'(a)$. Die Seite zeichnet den Schritt nur nach rechts ($h = \Delta x > 0$). Das Bild veranschaulicht die Aussage daher, beweist sie aber nicht; ob eine Tangente existiert, ergibt sich aus der jeweiligen Funktionsformel. Weil der Ausschnitt mit $\Delta x$ schrumpft, beschreibt $|E|/\Delta x$ ungefähr den Abstand der Kurve von der Geraden bei Q in Einheiten der Ansichtsgröße. Deshalb sieht eine differenzierbare Kurve bei stärkerer Vergrößerung immer gerader aus. Für $f''(a) \ne 0$ gilt bei kleinem $\Delta x$ die Näherung $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$. Sobald $\Delta x$ klein ist, macht jede zehnfache Vergrößerung den Fehler daher ungefähr hundertmal kleiner. Bei $f''(a) = 0$, etwa für $\sin x$ an der Stelle 0, schrumpft er noch schneller.