線形近似

点 $a$ での関数 $f$ の線形近似は、接線 $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ です。接線による近似、局所線形化とも呼ばれ、$f$ が $a$ で微分可能なときに存在します。$a$ を $x_0$ と書いて $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$ と表すこともあります。このページでは滑らかな4関数と、0で微分できない3関数、計7関数を示します。

グラフは青い点 P $= (a, f(a))$ を横方向の中心とし、両軸の尺度をそろえています。赤い刻み Δx は拡大率も決めます。刻みに合わせて表示範囲を縮め、P、接線の縦の変化量、Q が見えるよう必要に応じて広げます。この刻みで接線は青い微分 $dy = f'(a)\,\Delta x$ だけ上がり、曲線は $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ だけ上がります。黄色い矢印が誤差です。

関数が $a$ で微分可能であることは、$f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$ を満たす有限の数 $m$ があることと同値です。つまり誤差を $h$ で割ると、両側から $h \to 0$ としたとき0に近づき、そのとき $m = f'(a)$ です。このページは右向きの刻み（$h = \Delta x > 0$）だけを描くため、図は説明であって証明ではありません。接線の有無は各関数の式から判定します。$\Delta x$ とともに表示範囲も縮むので、$|E|/\Delta x$ は Q で曲線が直線から離れる度合いを表示範囲に対しておおよそ表します。これが、微分可能な曲線を拡大するほど直線に見える理由です。$f''(a) \ne 0$ なら、小さい $\Delta x$ に対して $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ なので、$\Delta x$ が十分小さくなると10倍の拡大ごとに誤差は約100分の1になります。0での $\sin x$ のように $f''(a) = 0$ なら、さらに速く縮みます。