接平面

この可視化での接平面

注目するところ

• Pでのfの2次の項が0でない場合（丘や、波の大部分の点）、wが小さくなるとずれは$w^2$に比例して縮みます。そのため10倍拡大するたびに比は約10分の1になります。鉢形と鞍形では、すべての点でこの関係が正確に成り立ちます。2次の項が0になる点では、さらに速く縮みます。波の原点では、10倍拡大するたびに比は100分の1になります。
• 偏微分係数があるだけでは十分ではありません。「折れ目」（このページでの呼び名。古典的な反例$f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$、$f(0, 0) = 0$）では、原点の偏微分係数は2つとも0で、候補の平面は$z = 0$になります。しかし、最大のずれは拡大しても正方形の4隅で$(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$のままで、ここに接平面はありません。円錐の頂点では、偏微分係数すら存在しません。どちらの曲面も、それ以外の点では微分可能です。
• 接平面は曲面を横切ることがあります。鞍点では接平面は水平ですが、曲面はある方向ではその上に、別の方向では下にあります。
• 3D表示には透視投影を使うため、画面上の傾きは視点によって変わります。平面の方程式の数値は丸めて表示し（≈）、最大のずれは標本からの推定値であって、保証された上界ではありません。

どこで使うか

• 線形近似：$(a, b)$の近くで$f(x, y) \approx L(x, y)$です。変化量$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$を全微分と呼びます。ベクトル$(f_x, f_y, -1)$は平面に垂直です。
• 数値計算では、局所的な微分の情報を反復の各ステップに使います。連立方程式に対するニュートン法は線形化した方程式を解き、勾配降下法は接平面の傾きを表す勾配を手がかりに進みます。

操作方法

• スライダーを0.001に近づけると拡大し、w → 0では10倍ずつ拡大します。曲面全体の表示（w = 1）では、曲面上のPまたは全体図の投影点をドラッグできます。ホイールと代表点のキーは、どの倍率でもPを動かせます。切断曲線は2本の切断曲線と接線を表示し、全体図は現在の位置を示します。
• プレゼンテーションモードはプロジェクター向けの全画面表示です。スペースキーで拡大、← →でwを10倍または10分の1に変更し、Hで答えを隠します。

関連項目