Tangentialebene: Interaktive 3D-Visualisierung

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Tangentialebene in dieser Visualisierung

Ist $f(x, y)$ bei $(a, b)$ differenzierbar, hat die Fläche $z = f(x, y)$ dort eine Tangentialebene: den Graphen der linearen Näherung oder Linearisierung $L$ . Sie wird aus den beiden partiellen Ableitungen gebildet und ist die einzige Ebene, an die sich die Fläche bei Annäherung an den Punkt immer enger anschmiegt. Den Punkt $(a, b)$ schreibt man auch $(x_0, y_0)$ .

Tangentialebene

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

Die gläserne Fläche ist der Graph von f, die blaue Fläche ist die Ebene bei P, und die blauen Linien darin sind die Tangenten an die beiden Schnitte durch P (in x- und y-Richtung): Sie spannen die Ebene auf. Das rote Quadrat in der Übersicht ist $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Wenn w kleiner wird, vergrößert sich die Ansicht um P in x-, y- und z-Richtung um denselben Faktor. Die gelbe Strecke markiert den größten vertikalen Abstand zwischen Fläche und Ebene über dem Quadrat (innerhalb des Definitionsbereichs, auf einem feinen Gitter geschätzt); die Anzeige teilt ihn durch w. Differenzierbarkeit bedeutet genau, dass dieses Verhältnis gegen 0 geht, der größte Abstand also o(w) ist:

Differenzierbar bei (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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Was auffällt

Wo der Anteil zweiter Ordnung von f bei P nicht verschwindet (beim Hügel, bei den Wellen an den meisten Punkten), schrumpft der Abstand für kleine w wie $w^2$ . Jede zehnfache Vergrößerung macht das Verhältnis daher etwa zehnmal kleiner; bei Schale und Sattel gilt dies an jedem Punkt exakt. Verschwindet der Anteil zweiter Ordnung, schrumpft der Abstand schneller: Am Ursprung der Wellen wird das Verhältnis bei zehnfacher Vergrößerung hundertmal kleiner.
Partielle Ableitungen reichen nicht aus. Bei der Falte (so nennt diese Seite das klassische Gegenbeispiel $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ) sind beide am Ursprung 0 und ergeben die Ebene $z = 0$ . Doch der größte Abstand an den vier Ecken des Quadrats bleibt bei jeder Vergrößerung $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ : Dort gibt es keine Tangentialebene. An der Kegelspitze existieren nicht einmal die partiellen Ableitungen. Überall sonst sind beide Flächen differenzierbar.
Eine Tangentialebene kann die Fläche durchschneiden: An einem Sattelpunkt ist sie horizontal; in einer Richtung liegt die Fläche darüber, in einer anderen darunter.
Die 3D-Ansicht wird perspektivisch gezeichnet, daher hängen die Neigungen auf dem Bildschirm vom Blickpunkt ab. Die Anzeige zeigt die Ebenengleichung mit gerundeten Zahlen (≈); der größte Abstand ist eine Schätzung aus Stichproben, keine garantierte Schranke.

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Anwendungen

Lineare Näherung: Nahe $(a, b)$ gilt $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; die Änderung $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ ist das totale Differential. Der Vektor $(f_x, f_y, -1)$ steht senkrecht auf der Ebene.
Bei numerischen Verfahren bestimmen lokale Ableitungsinformationen jeden Iterationsschritt: Das Newton-Verfahren für ein Gleichungssystem löst die linearisierten Gleichungen, und der Gradientenabstieg orientiert sich am Gradienten, der die Neigung der Tangentialebene beschreibt.

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Bedienung

Schiebe den Regler in Richtung 0.001, um zu vergrößern; w → 0 vergrößert schrittweise um den Faktor zehn. In der Gesamtansicht (w = 1) lässt sich P auf der Fläche oder sein Fußpunkt in der Übersicht ziehen; die Einstellräder und markanten Punkte bewegen ihn bei jeder Vergrößerung. Schnitte zeigt die beiden Schnitte und ihre Tangenten; Übersicht zeigt, wo du dich befindest.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste vergrößert, ← → ändern w um den Faktor zehn, H blendet die Antworten aus).

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Tangentialebene in dieser Visualisierung

Was auffällt

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