المستوى المماس: تصوّر تفاعلي ثلاثي الأبعاد

01

المستوى المماس في هذا التصوّر

إذا كانت $f(x, y)$ قابلة للتفاضل عند $(a, b)$ ، فإن للسطح $z = f(x, y)$ مستوى مماسًا هناك: وهو رسم التقريب الخطي المحلي $L$ . يُبنى من المشتقتين الجزئيتين، وهو المستوى الوحيد الذي يزداد التصاق السطح به كلما اقتربت من النقطة. وتُكتب النقطة $(a, b)$ أيضًا $(x_0, y_0)$ .

المستوى المماس

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

السطح الزجاجي هو رسم f، والصفيحة الزرقاء هي المستوى عند P، والخطان الأزرقان فيه مماسان لـ مقطعَي السطح المارين بـ P (على امتداد x وعلى امتداد y): وهما يحددان المستوى. المربع الأحمر على الخريطة هو $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . يصغّر تقليل w مساحة المشهد حول P، فيكبّرها بالعامل نفسه في x وy وz. تحدد القطعة الصفراء أكبر فجوة رأسية بين السطح والمستوى فوق المربع (في الجزء الواقع داخل مجال الدالة، بتقدير على شبكة دقيقة)؛ وتقسم القراءة هذه الفجوة على w. قابلية التفاضل تعني بالضبط أن هذه النسبة تؤول إلى 0، أي إن أكبر فجوة هي o(w):

قابلة للتفاضل عند (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

حيث لا ينعدم الجزء من الرتبة الثانية للدالة f عند P (في التلّ، وفي الموجات عند معظم النقاط)، تتناقص الفجوة مثل $w^2$ عندما تصغر w، ولذلك تصبح النسبة أصغر بنحو عشر مرات مع كل تكبير عشرة أضعاف؛ وفي الوعاء والسرج تتحقق هذه العلاقة بالضبط عند كل نقطة. وحيث ينعدم الجزء من الرتبة الثانية، تتناقص أسرع: عند أصل الموجات تصبح النسبة أصغر مئة مرة مع كل تكبير عشرة أضعاف.
المشتقات الجزئية لا تكفي. على الطيّة (وهو اسم هذه الصفحة لمثال مضاد معروف $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ ، مع $f(0, 0) = 0$ )، تساوي كلتاهما 0 عند الأصل وتعطيان المستوى $z = 0$ ، لكن أكبر فجوة تظل $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ عند الزوايا الأربع للمربع، مهما كبّرت: لا يوجد مستوى مماس هناك. وعند رأس المخروط لا توجد حتى المشتقات الجزئية. وفي سائر النقاط، كلا السطحين قابل للتفاضل.
قد يعبر المستوى المماس السطح: عند نقطة سرجية يكون أفقيًا، ويقع السطح فوقه في اتجاه وتحته في اتجاه آخر.
يُرسم المشهد ثلاثي الأبعاد بمنظور، لذا تعتمد الميول الظاهرة على الشاشة على زاوية النظر. تعرض القراءة معادلة المستوى بأعداد مقرّبة (≈)، وأكبر فجوة تقدير مأخوذ من عينات، لا حدًا مضمونًا.

03

أين يُستخدم؟

التقريب الخطي: قرب $(a, b)$ ، $f(x, y) \approx L(x, y)$ ؛ والتغير $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ هو التفاضل الكلي. المتجه $(f_x, f_y, -1)$ عمودي على المستوى.
في الطرق العددية، تُستخدم معلومات المشتقات المحلية لبناء كل خطوة تكرارية: تحل طريقة نيوتن لنظام معادلات المعادلاتِ بعد تقريبها خطيًا، ويسترشد الانحدار المتدرّج بالتدرّج، الذي يحدد ميل المستوى المماس.

04

أدوات التحكم

حرّك المنزلق نحو 0.001 للتكبير؛ ويكبّر w → 0 المشهد عشرة أضعاف كل مرة. عند عرض السطح كله (w = 1)، اسحب P على السطح أو مسقطها على الخريطة؛ وتحركها العجلات والنقاط الأساسية عند أي تكبير. يعرض المقاطع المقطعين ومماسيهما؛ وتعرض الخريطة موضعك.
يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يكبّر مفتاح المسافة المشهد، ويغيّر ← → القيمة w بعامل عشرة، ويخفي H النتائج).

05

موضوعات ذات صلة

E12المشتقة الجزئية
E15التدرّج
D07التقريب الخطي
E10خريطة خطوط المستوىقيد الإعداد
E16اختبار المشتقات الجزئية الثانيةقيد الإعداد

للمزيد من القراءة: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (الإنجليزية).