Math

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات · التدرّج

التدرّج

تدرّج الدالة القابلة للاشتقاق هو متجه مشتقاتها الجزئية، ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). وحيث لا يساوي صفرًا يشير إلى الاتجاه الذي تزداد فيه الدالة بأسرع معدل، وطوله هو ذلك الميل الأقصى.

01

التدرّج في هذا التصوّر

تدرّج الدالة f(x,y)f(x, y)، ويُكتب ∇f\nabla f أو grad⁡f\operatorname{grad} f، هو متجه مشتقاتها الجزئية، ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). حيث تكون ff قابلة للاشتقاق و∇f≠0\nabla f \ne 0، يشير إلى الاتجاه الذي تزداد فيه ff بأسرع معدل، وطوله هو ذلك المعدل. تعرضه الصفحة على ستة أسطح مع المشتقة الاتجاهية، أي معدل تغيّر ff في اتجاه مختار.

السطح الزجاجي هو رسم z=f(x,y)z = f(x, y)، وخريطة خطوط تساوي ارتفاعه على الأرضية. تقع النقطة الزرقاء P على السطح فوق (a,b)(a, b). السهم الأحمر u متجه وحدة أفقي بزاوية θ\theta، تُقاس عكس عقارب الساعة من محور xx الموجب. خلال خطوة أفقية بطول وحدة باتجاه u، يرتفع المستوى المماس بمقدار القطعة الصفراء: المشتقة الاتجاهية

المشتقة الاتجاهية
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

تُكتب المشتقة الاتجاهية أيضًا ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l}، حيث يمثّل متجه الوحدة el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta) الاتجاه. هنا تُقاس θ\theta عكس عقارب الساعة من محور xx الموجب، لذلك cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta وcos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta. الحلقة الزرقاء هي دائرة الوحدة حول P مرفوعة إلى المستوى المماس. تقع أعلى نقطة فيها باتجاه التدرّج، على ارتفاع ∣∇f∣|\nabla f| فوق P، لأن

أكبر ميل
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

حيث φ\varphi هي الزاوية بين u و∇f\nabla f. يبلغ الميل أقصاه مع التدرّج، ويساوي صفرًا مع خط تساوي الارتفاع المارّ بـ P، ويكون أشد سلبية عكس التدرّج.

02

ما الذي تلاحظه؟

  • التدرّج عمودي على خط تساوي الارتفاع المارّ بـ P. وتتقارب الخطوط المرسومة بفواصل متساوية من ff حيث تكبر ∣∇f∣|\nabla f|.
  • عندما يدور u دورة كاملة، ترسم نقطة الخريطة (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u دائرة يمتد قطرها من (a,b)(a, b) إلى (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f. وحيث ∇f=0\nabla f = 0 تنكمش الدائرة إلى النقطة نفسها.
  • لا يلزم أن يشير اتجاه أشد صعود إلى القمّة: يختلف الاتجاهان على تلّ ممدود.
  • المشتقات الجزئية مشتقات اتجاهية: u=(1,0)u = (1, 0) يعطي fxf_x، وu=(0,1)u = (0, 1) يعطي fyf_y.
  • حيث ∇f=0\nabla f = 0 (نقطة حرجة) يكون الميل صفرًا في كل اتجاه، ولا يوجد اتجاه أشد صعودًا. ونقطة السرج نقطة من هذا النوع، ليست عظمى محلية ولا صغرى محلية.
  • الارتفاع الأصفر يخص المستوى المماس: إنه تقريب خطّي. خلال خطوة أفقية قصيرة hh باتجاه u يرتفع السطح نفسه بمقدار f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f، وكلما صغرت hh تحسّن التطابق.
03

تطبيقات

  • الانحدار المتدرّج، وهو طريقة أساسية لتدريب نماذج التعلّم الآلي، يخفض قيمة الدالة بخطوات صغيرة متكررة عكس التدرّج، x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). وحيث ∇f≠0\nabla f \ne 0 تؤدي خطوة صغيرة بما يكفي إلى النزول، لكن الطريقة قد تستقر عند صغرى محلية أو تتباطأ قرب سرج بدل بلوغ أدنى نقطة.
  • لأن التدرّج عمودي على خطوط المستوى، فهو يعطي اتجاهها الناظم. وحيث تبلغ دالة ملساء ff قيمة عظمى أو صغرى على منحنى g=cg = c (مع ∇g≠0\nabla g \ne 0)، يتوازى التدرّجان، ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g: هذه فكرة مضاعفات لاغرانج.
  • في الفيزياء، القوة المحافظة هي سالب تدرّج طاقة الوضع، F=−∇UF = -\nabla U: تدفع نحو طاقة أقل، في اتجاه أسرع انخفاض للطاقة.
04

عناصر التحكّم

  • اسحب P على السطح أو إسقاطها على الخريطة، أو اسحب رأس السهم الأحمر. تنقلك النقاط والاتجاهات الأساسية (+x+x، +y+y، ∇f\nabla f، ⊥∇f\perp\nabla f) إلى قيم دقيقة؛ وعند نقطة حرجة أساسية تكون ∇f\nabla f صفرًا تمامًا.
  • تدير دورة المتجه u دورة كاملة ثم توقفه باتجاه أشد صعود. يعرض المنظر العلوي الخريطة من الأعلى بزوايا حقيقية. ويفتح وضع العرض شاشة كاملة لأجهزة الإسقاط (المسافة للدورة، ← → لتدوير u، وH لإخفاء الإجابات).
05

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Gradient (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (الإنجليزية).