Gradient: interaktive 3D-Visualisierung

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Gradient in dieser Visualisierung

Der Gradient einer Funktion $f(x, y)$ , geschrieben $\nabla f$ oder $\operatorname{grad} f$ , ist der Vektor ihrer partiellen Ableitungen, $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Ist $f$ differenzierbar und gilt $\nabla f \ne 0$ , zeigt er in die Richtung, in der $f$ am schnellsten wächst. Seine Länge ist diese größte Änderungsrate. Die Seite zeigt ihn auf sechs Flächen zusammen mit der Richtungsableitung, der Änderungsrate von $f$ in einer gewählten Richtung.

Die Glasfläche ist der Graph von $z = f(x, y)$ , ihre Höhenlinienkarte liegt am Boden. Der blaue Punkt P liegt über $(a, b)$ auf der Fläche. Der rote Pfeil u ist ein horizontaler Einheitsvektor mit Winkel $\theta$ , gegen den Uhrzeigersinn von der positiven $x$ -Achse gemessen. Bei einem horizontalen Einheitsschritt entlang u steigt die Tangentialebene um die gelbe Strecke: die Richtungsableitung

Richtungsableitung

D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

Die Richtungsableitung schreibt man auch $\dfrac{\partial f}{\partial l}$ , mit dem Einheitsvektor $e_l = (\cos\alpha, \cos\beta)$ als Richtung. Hier wird $\theta$ gegen den Uhrzeigersinn von der positiven $x$ -Achse gemessen, also $\cos\alpha = \cos\theta$ und $\cos\beta = \sin\theta$ . Der blaue Ring ist der auf die Tangentialebene gehobene Einheitskreis um P. Sein höchster Punkt liegt in Richtung des Gradienten, um $|\nabla f|$ über P, denn

Größte Steigung

D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

Dabei ist $\varphi$ der Winkel zwischen u und $\nabla f$ . Die Steigung ist entlang des Gradienten am größten, entlang der Höhenlinie durch P null und entgegen dem Gradienten am stärksten negativ.

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Worauf du achten kannst

Der Gradient steht senkrecht auf der Höhenlinie durch P. Höhenlinien mit gleichen Schritten in $f$ liegen dort dicht, wo $|\nabla f|$ groß ist.
Während u eine volle Drehung macht, beschreibt der Kartenpunkt $(a, b) + (D_u f)\,u$ einen Kreis mit dem Durchmesser von $(a, b)$ bis $(a, b) + \nabla f$ . Bei $\nabla f = 0$ schrumpft dieser Kreis auf den Punkt selbst.
Der steilste Anstieg muss nicht zum Gipfel zeigen: Auf einem gestreckten Hügel unterscheiden sich die beiden Richtungen.
Partielle Ableitungen sind Richtungsableitungen: $u = (1, 0)$ ergibt $f_x$ , und $u = (0, 1)$ ergibt $f_y$ .
Bei $\nabla f = 0$ (einem kritischen Punkt) ist die Steigung in jeder Richtung 0; es gibt keine steilste Richtung. Ein Sattelpunkt ist ein solcher Punkt, der weder lokales Maximum noch lokales Minimum ist.
Der gelbe Anstieg gehört zur Tangentialebene: Er ist eine lineare Näherung. Bei einem kurzen horizontalen Schritt $h$ entlang u steigt die Fläche selbst um $f((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f$ . Je kleiner $h$ , desto genauer die Übereinstimmung.

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Anwendungen

Gradientenabstieg, die grundlegende Methode zum Trainieren von Modellen des maschinellen Lernens, senkt eine Funktion durch wiederholte kleine Schritte entgegen dem Gradienten, $x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x)$ . Bei $\nabla f \ne 0$ führt ein ausreichend kleiner Schritt bergab. Die Methode kann aber in einem lokalen Minimum enden oder nahe einem Sattelpunkt nur langsam vorankommen, statt den tiefsten Punkt zu erreichen.
Da der Gradient senkrecht auf Niveaulinien steht, gibt er ihre Normalenrichtung an. Hat eine glatte Funktion $f$ auf einer Kurve $g = c$ (mit $\nabla g \ne 0$ ) ein Maximum oder Minimum, sind die Gradienten parallel, $\nabla f = \lambda \nabla g$ : die Idee der Lagrange-Multiplikatoren.
In der Physik ist eine konservative Kraft der negative Gradient der potenziellen Energie, $F = -\nabla U$ . Sie wirkt zu geringerer Energie hin, in die Richtung des stärksten Energieabfalls.

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Bedienung

Ziehe P auf der Fläche, seinen Fußpunkt auf der Karte oder die Spitze des roten Pfeils. Markante Punkte und Richtungen ( $+x$ , $+y$ , $\nabla f$ , $\perp\nabla f$ ) springen zu exakten Werten; an einem markanten kritischen Punkt ist $\nabla f$ exakt 0.
Rundlauf dreht u einmal herum und hält in Richtung des steilsten Anstiegs an. Die Draufsicht zeigt die Karte von oben mit unverzerrten Winkeln. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste: Rundlauf, ← →: u drehen, H: Antworten ausblenden).

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