Partielle Ableitung: Interaktive 3D-Visualisierung

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Partielle Ableitung in dieser Visualisierung

Für eine Funktion zweier Variablen $f(x, y)$ ist die partielle Ableitung nach x bei $(a, b)$ , geschrieben $\partial f/\partial x$ oder $f_x$ , die gewöhnliche Ableitung der Funktion einer Variablen $x \mapsto f(x, b)$ bei $x = a$ : y bleibt fest, nur x ändert sich. Die partielle Ableitung nach y hält entsprechend x fest. Diese Seite zeigt beide an sechs Flächen.

Partielle Ableitung

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

Auch geschrieben als $f_x(a, b)$ (oder $f'_x(a, b)$ ), der Punkt $(a, b)$ auch als $(x_0, y_0)$ . Die gläserne Fläche ist der Graph von $z = f(x, y)$ , mit seiner Höhenlinienkarte auf dem Boden. Die senkrechte Ebene $y = b$ durch den blauen Punkt P schneidet die Fläche in einer Kurve, dem Schnitt: dem Graphen von $x \mapsto f(x, b)$ . Der graue Pfeil zeigt eine Strecke von 1 in x-Richtung. Der Höhenunterschied von seiner Spitze zur blauen Tangente — eine vertikale Änderung mit Vorzeichen, nach oben positiv und nach unten negativ — ist $\partial f/\partial x$ , die Schnittsteigung bei P. Das Ansichtsfenster zeichnet denselben Schnitt als gewöhnlichen Graphen. Die Wahl von $\partial f/\partial y$ dreht die Ebene zu $x = a$ .

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Was auffällt

Eine partielle Ableitung kann von beiden Koordinaten von P abhängen, auch von der festgehaltenen. Verschiebst du den Schnitt, ändern sich die Kurve und möglicherweise ihre Steigung: Bei $f = xy/4$ ist jeder x-Schnitt eine Gerade; ihre Steigung $\partial f/\partial x = y/4$ hängt allein davon ab, welchen Schnitt du wählst.
$\partial f/\partial x = 0$ besagt nur, dass der x-Schnitt bei P waagerecht ist. Hat eine differenzierbare Funktion an einem inneren Punkt ihres Definitionsbereichs ein lokales Maximum oder Minimum, sind beide partiellen Ableitungen 0. Das allein genügt aber nicht: Auch an einem Sattelpunkt sind beide 0.
Der Höhenunterschied wird an der Tangente gemessen, nicht auf der Fläche: Über einen Schritt $h$ ändert sich der Schnitt selbst um ungefähr $h\,\partial f/\partial x$ ; die Näherung wird bei kleinerem $h$ genauer.
Die 3D-Ansicht behält die tatsächlichen Proportionen bei: z hat denselben Maßstab wie x und y. Wie steil eine Linie am Bildschirm wirkt, hängt aber vom Blickwinkel ab. Das Schnittfenster zeigt den Schnitt von vorn mit gleichen Maßstäben; dort lassen sich Steigungen direkt vergleichen.

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Anwendungen

Zusammen bilden die beiden partiellen Ableitungen den Gradienten $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Wo f differenzierbar ist, liegen die beiden Tangenten, die bei Hebelstellung Beide erscheinen, in der Tangentialebene $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ . Die Existenz beider partieller Ableitungen allein genügt nicht für die Existenz einer Tangentialebene.
Hängt eine Größe von mehreren anderen ab, misst eine partielle Ableitung ihre Reaktion auf eine davon bei festgehaltenen übrigen Größen — etwa wie schnell der Druck eines Gases bei konstantem Volumen mit der Temperatur steigt.

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Bedienung

Ziehe P auf der Fläche oder seinen Fußpunkt auf der Karte. Tasten für markante Punkte springen zu exakten Werten; an einem solchen kritischen Punkt sind beide partiellen Ableitungen exakt 0.
Der Hebel unter Schnitt wählt die veränderliche Variable: $\partial f/\partial x$ hält y fest und schneidet entlang x; $\partial f/\partial y$ hält x fest und schneidet entlang y. Die Mitte, Beide, zeigt beide Schnitte gemeinsam. Schnittgraph öffnet oder schließt das Fenster; bei einem einzelnen Schnitt lässt sich P auch dort entlang der Kurve ziehen. Von den zwei Rädern unter Punkt bewegt eines P entlang des Schnitts, das andere verschiebt die Schnittebene. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (← → bewegen P entlang des Schnitts, ↑ ↓ verschieben die Ebene, X, Y und B verstellen den Hebel, H blendet die Ergebnisse aus).

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