偏微分：インタラクティブな3D可視化

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この図で見る偏微分

2変数関数 $f(x, y)$ の点 $(a, b)$ におけるx に関する偏微分係数は $\partial f/\partial x$ または $f_x$ と書き、1変数関数 $x \mapsto f(x, b)$ の $x = a$ での通常の微分係数です。y を固定し、x だけを変えます。y に関する偏微分も同様に x を固定します。このページでは6つの曲面で両方を示します。

偏微分

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

$f_x(a, b)$ （または $f'_x(a, b)$ ）とも書き、点 $(a, b)$ を $(x_0, y_0)$ と書くこともあります。ガラスの曲面は $z = f(x, y)$ のグラフで、床に等高線図があります。青い点 P を通る鉛直面 $y = b$ が曲面を切り取り、 $x \mapsto f(x, b)$ のグラフである切り口ができます。灰色の矢印は x 方向の幅1です。その先端から青い接線までの縦の変化量（上が正、下が負）が $\partial f/\partial x$ 、P での切り口の傾きです。図内の窓には同じ切り口を通常のグラフとして描きます。 $\partial f/\partial y$ を選ぶと平面は $x = a$ に変わります。

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注目するところ

偏微分係数は、固定する座標も含めた P の両座標に依存することがあります。切断面を動かすと曲線が変わり、傾きも変わります。 $f = xy/4$ では x 方向のどの切り口も直線で、その傾き $\partial f/\partial x = y/4$ は選んだ切り口だけで決まります。
$\partial f/\partial x = 0$ は、x 方向の切り口が P で水平なことだけを意味します。微分可能な関数が定義域の内点で極大または極小なら、両方の偏微分係数が0ですが、それだけでは十分ではありません。鞍点でも両方が0です。
縦の変化量を測るのは曲面ではなく接線上です。刻み $h$ に対する切り口自体の変化は約 $h\,\partial f/\partial x$ で、 $h$ が小さいほど近い近似になります。
3D表示は z と x、y の尺度をそろえ、実際の比率を保ちます。ただし画面上での線の急さは見る角度に依存します。切り口の窓は正面から同じ尺度で描くので、傾きを直接比較できます。

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用途

2つの偏微分係数を組にすると勾配 $\nabla f = (f_x, f_y)$ になります。f が微分可能なら、レバーを両方にしたときの2本の接線は、接平面 $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ に含まれます。両方の偏微分係数が存在するだけでは、接平面の存在は保証されません。
ある量が複数の量に依存するとき、偏微分は他を固定して1つだけ変えたときの応答を測ります。例えば体積一定で温度を上げたとき、気体の圧力がどれだけ速く増すかを表します。

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操作方法

曲面上の P または地図上の真下の点をドラッグできます。主な点のキーは厳密な値へ移動し、停留点のキーでは両方の偏微分係数が厳密に0になります。
切り口のレバーで変化させる変数を選びます。 $\partial f/\partial x$ は y を固定して x 方向に切り、 $\partial f/\partial y$ は x を固定して y 方向に切ります。中央の両方は2つの切り口を同時に表示します。切り口のグラフで窓を開閉できます。1つの切り口を表示しているときは、窓内でも P を曲線に沿ってドラッグできます。点の2つのホイールは、一方が切り口に沿って P を動かし、他方が切断面を動かします。プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります（← → で P を切り口に沿って移動、↑ ↓ で切断面を移動、X・Y・B でレバーを切り替え、H で答えを非表示）。

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この図で見る偏微分

注目するところ

用途

操作方法

関連項目