微分係数

この可視化での微分係数

注目する点

• $x^2$、$x^3 - 3x$、$\sin x$、$e^x$では、両側からの傾きが同じ値に近づきます。
• $|x|$の0では、両側からの値が$-1$と$+1$に近づきます。関数は連続ですが、角があるため微分できません。
• $x^{2/3}$の0では$-\infty$と$+\infty$になり、尖点があります。
• $\sqrt[3]{x}$の0では、両側からの値が限りなく大きくなります。接線は垂直になり、有限の微分係数はありません。
• 跳躍の例の1では、連続でない関数はその点で微分できないことが分かります。

応用

• 速度は位置を微分したもので、このページの運動モードで見られます。微分は一般に、経済学の限界費用、化学の反応速度、生物学の成長率など、量の変化率を表します。
• $a$の近くでは、接線が最もよい一次近似$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$を与えます。方程式を解くニュートン法も、このような接線を使います。
• 区間の内部で微分可能な関数が極大または極小になる点では、$f' = 0$となります。微分を使って最適な値を探す手がかりです。

操作方法

• Qをドラッグするか、パネルの|h|スライダーやh → 0ボタンを使って$h$を変えます。符号は左／右で選びます。
• Pをドラッグするか、点のノブを回して$a$を動かします。背景のドラッグで移動、＋と−で拡大・縮小できます。
• 比較・記録では、両側の割線の傾きを$h$に対して描き、近づける途中の値を集めるウィンドウが開きます。閉じていても値の記録は続きます。
• 運動モードでは曲線が位置$s(t)$を表します。割線の傾きは平均速度、微分係数は瞬間速度$v(t) = s'(t)$になります。
• プレゼンモードでは、プロジェクター向けに大きな文字とキーボード操作を備えた全画面表示になります（スペースキーでh → 0、Page Up／Page Downで注目ポイントを切り替え、Hで微分係数を隠します）。

関連する概念