この図で見る極限
x を a に十分近づけることで、f の値を要求されたどんな近さでも L に近づけられるとき、関数 の点 a における極限は L であるといい、 と書きます。x = a そのものは見ません。これを厳密に表すのがε–δ 定義（コーシーとワイエルシュトラス）です。要求 ε に対し、応答 δ を用意します。
図の要求は、青い直線 y = L を中心とする半幅 ε の赤い帯です。不等号が厳密なので、破線の境界は含みません。応答は a を中心とする半幅 δ の黄色い窓で、a には隙間があります。条件 が x = a を除くため、そこに穴があったり f(a) を別の高さに定めたりしても影響しません。窓の中の曲線がすべて帯に入れば有効です。入らない場合は、外に出る点を黄色い × で示します。片側極限（x → a⁻ または a⁺）では窓の半分を使います。極限が存在するなら一意です。異なる2つの値がどんな帯にも同時に収まることはありません。
このページは2種類の δ を示します。保証された δは、窓内のすべての x で成り立つ不等式から求めるため、証明になっています。x²、穴のある関数、跳ぶ関数、sin(1/x)、1/x² では最大の δ が閉じた形で求まり、それ自体が保証です。x·sin(1/x) は評価 により0で δ = ε、sin x / x は評価 により が得られます。この2つの関数の最大の δは数値的に求めます。折り返す点の間を区間ごとに追い、帯の境界との交点を二分法で求めます。それより小さい δ も有効なので、δ は一意ではありません。
注目するところ
- ε → 0は帯を10分の1ずつ 10⁻⁶ まで縮め、各段階の δ を記録します。拡大鏡は横と縦を異なる倍率で拡大し、両方の倍率を見出しに表示します。確認するのは表示した段階だけです。誤差が 10⁻⁶ 未満の予想なら、すべて通ってしまいます。
- 同じ条件が破れる3つの例があります。跳び（左右の極限が異なる）、終わらない振動（sin(1/x) は0を囲むどの区間でも1と −1 を取る）、誤った予想（2での x² に L = 4.1 を選ぶと ε ≤ 0.1 で失敗）です。振動だけでは極限がないとはいえません。x·sin(1/x) も同じだけ振動しますが、極限は0です。極限の有無は点にもより、sin(1/x) はすべての a ≠ 0 で極限を持ちます。1/x² は0で有限の極限を持ちません。無限遠での極限はここでは扱いません。
- 入力は小数や分数として厳密に読み取るため、δ が存在するか、境界に達するかの判定も厳密です。L = 4.1、ε = 0.1 なら |4 − L| はちょうど ε です。a で連続な関数の極限は f(a) です。連続とは、この等式が成り立つことです。
操作方法
- 下端の a と左端の L をドラッグできます。L は極限値に吸着し、その後 a を動かすと追従します。窓の端をドラッグするか値を入力して、自分で δ を試せます。保証された δと有効な最大の δで、ページが求めた2つの値を設定します。f、a、L、ε、近づく側を変えると、δ は保証された値に戻ります。
- プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります。スペースで ε → 0 を実行、← → で ε を10倍または10分の1、H で極限を非表示にします。共有で現在の設定のリンクをコピーできます。