Grenzwert: Interaktive Visualisierung

Der Grenzwert in dieser Visualisierung

Der Grenzwert einer Funktion $f$ an einer Stelle a ist L, geschrieben $\lim_{x\to a} f(x) = L$ , wenn man die Werte von f beliebig nahe bei L halten kann, indem man x hinreichend nahe bei a hält — ohne x = a selbst zu betrachten. Präzise formuliert das die ε-δ-Definition (Cauchy und Weierstraß): eine Vorgabe ε und eine Antwort δ.

Die Definition

\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - L| < \varepsilon

Im Diagramm ist die Vorgabe das rote Band mit halber Breite ε um die blaue Gerade y = L. Seine gestrichelten Ränder gehören nicht dazu, denn die Ungleichung ist strikt. Die Antwort ist das gelbe Fenster mit halber Breite δ um a, mit einer Lücke bei a: Die Bedingung $0 < |x - a|$ schließt x = a aus. Daher ändert eine Lücke dort oder ein anderswo liegender Wert f(a) nichts. Das Fenster funktioniert, wenn die Kurve darin ganz im Band bleibt. Andernfalls markiert ein gelbes × einen Punkt außerhalb. Ein einseitiger Grenzwert (x → a⁻ oder a⁺) verwendet ein halbes Fenster. Existiert der Grenzwert, ist er eindeutig: Zwei verschiedene Werte können nicht beide in jedes Band passen.

Die Seite zeigt zwei verschiedene δ. Das garantierte δ folgt aus einer Ungleichung, die für jedes x im Fenster gilt, ist also bewiesen: Für x², die Lücke, den Sprung, sin(1/x) und 1/x² besitzt das größte δ eine geschlossene Formel und liefert selbst die Garantie. Für x·sin(1/x) ergibt die Schranke $|x\sin(1/x)| \le |x|$ bei 0 den Wert δ = ε; für sin x / x liefert $1 - x^2/6 \le \sin x / x < 1$ den Wert $\delta = \sqrt{6\varepsilon}$ . Bei diesen beiden Funktionen wird das größte δ numerisch bestimmt: Die Kurve wird stückweise zwischen ihren Umkehrpunkten verfolgt, jeder Schnitt mit dem Bandrand durch Bisektion gefunden. Jedes kleinere δ funktioniert ebenfalls; δ ist nie eindeutig.

Was auffällt

ε → 0 verkleinert das Band jeweils um eine Zehnerpotenz bis 10⁻⁶ und zeichnet für jede Stufe ein δ auf. Dabei vergrößert die Lupe horizontal und vertikal mit unterschiedlichen Faktoren, die beide im Titel stehen. Geprüft werden nur die gezeigten Stufen: Ein um weniger als 10⁻⁶ falscher Kandidat könnte sie alle bestehen.
Drei Arten, denselben Test nicht zu bestehen: ein Sprung (links- und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden sich), endlose Oszillation (sin(1/x) nimmt in jedem Intervall um 0 die Werte 1 und −1 an) und ein falscher Kandidat (L = 4.1 für x² bei 2 scheitert, sobald ε ≤ 0.1). Oszillation allein genügt nicht: x·sin(1/x) schwingt genauso oft und hat dennoch Grenzwert 0. Ob ein Grenzwert existiert, hängt von der Stelle ab: sin(1/x) hat an jedem a ≠ 0 einen. 1/x² hat bei 0 keinen endlichen Grenzwert; Grenzwerte im Unendlichen werden hier nicht behandelt.
Eingaben werden exakt als Dezimalzahlen oder Brüche gelesen. Entscheidungen — ob überhaupt ein δ existiert oder der Rand erreicht wird — sind daher exakt: Bei L = 4.1 und ε = 0.1 ist |4 − L| genau ε. Eine bei a stetige Funktion hat den Grenzwert f(a); genau das bedeutet Stetigkeit.

Bedienung

Ziehe a am unteren und L am linken Rand. L rastet am Grenzwert ein und folgt ihm dann, wenn a verschoben wird. Ziehe die Fensterkanten, um ein eigenes δ auszuprobieren, oder gib einen Wert ein. Garantiertes δ und Max. gültiges δ wählen die beiden von der Seite ermittelten Werte. Änderungen an f, a, L, ε oder der Seite setzen δ auf den garantierten Wert zurück.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: Leertaste startet ε → 0, ← → multiplizieren oder teilen ε mit 10, H blendet den Grenzwert aus. Teilen kopiert einen Link zur aktuellen Einstellung.

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