النهاية

نهاية الدالة $f$ عند النقطة a هي L، وتُكتب $\lim_{x\to a} f(x) = L$، عندما يمكن إبقاء قيم f قريبة من L بأي مقدار مطلوب، بإبقاء x قريبة بما يكفي من a — دون النظر مطلقًا إلى x = a نفسها. الصياغة الدقيقة هي تعريف ε–δ (كوشي وفايرشتراس): تحدٍّ ε واستجابة δ.

على الرسم، التحدّي هو النطاق الأحمر بنصف عرض ε حول الخط الأزرق y = L؛ وحافتاه المتقطعتان ليستا جزءًا منه، لأن المتباينة صارمة. الاستجابة هي النافذة الصفراء بنصف عرض δ حول a، مع استثناء a: يستبعد الشرط $0 < |x - a|$ القيمة x = a، ولهذا لا يغيّر شيئًا وجود ثقب هناك أو تعيين قيمة f(a) في موضع آخر. تصلح النافذة عندما يبقى المنحنى داخلها ضمن النطاق؛ وحين لا يفعل، تميّز × صفراء نقطة تخرج منه. تستخدم النهاية من جهة واحدة (x → a⁻ أو a⁺) نصف النافذة. النهاية، إن وُجدت، وحيدة: لا يمكن لقيمتين أن تلائما كل نطاق.

تعرض الصفحة قيمتين مختلفتين لـ δ. تأتي δ المضمونة من متباينة تتحقق عند كل x في النافذة، ولذلك فهي برهان: للدالة x²، والدالة ذات الثقب، والقفزة، وsin(1/x)، و1/x²، توجد صيغة مغلقة لأكبر δ، وهي نفسها القيمة المضمونة؛ وللدالة x·sin(1/x) يعطي الحصر $|x\sin(1/x)| \le |x|$ القيمة δ = ε عند 0، وللدالة sin x / x يعطي الحصر $1 - x^2/6 \le \sin x / x < 1$ القيمة $\delta = \sqrt{6\varepsilon}$. لهاتين الدالتين تكون أكبر δ عددية: يُتتبّع المنحنى جزءًا جزءًا بين نقاط تغيّر اتجاهه، ويُوجد كل عبور لحافة النطاق بالتنصيف. كل δ أصغر تصلح أيضًا؛ وليست δ وحيدة أبدًا.