التقريب الخطي

التقريب الخطي لدالة $f$ عند نقطة $a$، ويسمّى أيضًا التقريب بالمماس أو التقريب الخطي المحلي، هو المماس $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. يوجد عندما تكون $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$. ويُكتب أيضًا $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$، باستعمال $x_0$ بدلًا من $a$. تعرضه الصفحة على سبع دوال: أربع ملساء، وثلاث غير قابلة للاشتقاق عند 0.

يتمركز الرسم أفقيًا حول النقطة الزرقاء P $= (a, f(a))$، بمقياسين متساويين على المحورين. تضبط الخطوة الحمراء Δx التكبير أيضًا: ينكمش مجال الرؤية معها، ويتسع عند الحاجة لإبقاء P وارتفاع المماس وQ ظاهرين. على امتداد الخطوة يرتفع المماس بمقدار التفاضل الأزرق $dy = f'(a)\,\Delta x$، بينما يرتفع المنحنى بمقدار $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. السهم الأصفر هو الخطأ:

تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا وفقط إذا وُجد عدد منتهٍ $m$ يحقق $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$، أي إن الخطأ مقسومًا على $h$ يؤول إلى 0 عندما $h \to 0$ من الجانبين؛ وعندئذ $m = f'(a)$. ترسم الصفحة الخطوة يمينًا فقط ($h = \Delta x > 0$)، لذا يوضّح الرسم ذلك ولا يبرهنه؛ ويُحدَّد وجود المماس من صيغة كل دالة. لأن مجال الرؤية ينكمش مع $\Delta x$، تعبّر $|E|/\Delta x$ تقريبًا عن بُعد المنحنى عن المستقيم عند Q بوحدات حجم المشهد، ولهذا يبدو المنحنى القابل للاشتقاق أكثر استقامة كلما زاد التكبير. إذا كان $f''(a) \ne 0$، فإن $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ للقيم الصغيرة من $\Delta x$، لذا عندما تصغر $\Delta x$ بما يكفي، يجعل كل تكبير بعامل عشرة الخطأ أصغر نحو مئة مرة. وحيث $f''(a) = 0$، كما في $\sin x$ عند 0، يصغر أسرع من ذلك.