متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور في هذا التصوّر

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

• داخل نصف القطر تتقارب المجاميع الجزئية هنا إلى $f$، لذا يقترب الخطأ من 0 عند كل قيمة كهذه لـ $x$ مع زيادة $n$، وإن لم يكن ينقص بالضرورة في كل خطوة. خارج نصف القطر لا تؤول الحدود إلى 0 ولا تستقر $P_n(x)$ عند قيمة. الشريط يقترب فقط من $R$: فهو مقاس على الشاشة، بينما تُستنتج $R$ من الصيغة.
• قد تكون الدالة ملساء على المستقيم الحقيقي كله ومع ذلك يكون نصف قطر تقاربها محدودًا. الدالة $1/(1 + x^2)$ غير معرّفة عند النقطتين المركّبتين $\pm i$، لذلك لا تتقارب متسلسلتها حول $a$ إلا عندما $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$.
• قد يختلف السلوك عند طرفي الفترة: متسلسلة $\ln(1 + x)$ حول 0 تتقارب عند $x = 1$ (إلى $\ln 2$) ولا تتقارب عند $x = -1$؛ ومتسلسلة $1/(1 - x)$ لا تتقارب عند أيّ من الطرفين، بينما تتقارب متسلسلة $\sqrt{1 + x}$ عند كليهما.
• عند $a = 0$، لا تحتوي $\sin x$ إلا على قوى فردية، ولا تحتوي $\cos x$ إلا على قوى زوجية؛ لذا فإن $P_{2m}$ و$P_{2m-1}$ للجيب هما كثير الحدود نفسه. يتجاوز n → ∞ هذه الحدود الصفرية، فتغيّر كل خطوة المنحنى.
• التقارب وحده لا يجعل المجموع مساويًا لـ $f$. الدالة التي تساوي $e^{-1/x^2}$ عندما $x \ne 0$ وتساوي 0 عند 0 تكون جميع مشتقاتها عند 0 مساوية للصفر، ولذلك تكون متسلسلة تايلور لها هناك مساوية للصفر لكل $x$.

أين تُستخدم؟

• تحتفظ الفيزياء بالحدود الأولى قرب نقطة: $\sin\theta \approx \theta$ لتأرجحات البندول الصغيرة، و$(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ تعطي من الطاقة الحركية النسبية الصيغة $\tfrac12 mv^2$ عند السرعات المنخفضة.
• يحدد الباقي عدد الحدود التي يحتاجها الحساب: جمع $1/k!$ من $k = 0$ إلى $10$، وهو $P_{10}(1)$ للدالة $e^x$، يعطي بالفعل $e$ بخطأ أقل من $3 \times 10^{-8}$.

أدوات التحكم

• أدر مقبض الدرجة، أو اضغط n → ∞ لإضافة الحد التالي غير الصفري، حدًّا تلو الآخر، حتى $n = 30$ (الضغط مرة أخرى عند النهاية يعيد التشغيل من 0). اسحب النقطة الزرقاء أو العلامة على المحور لتحريك المركز؛ وأزرار المراكز المميزة تنتقل إلى قيم دقيقة.
• يعرض الشريط أسفل الرسم $|f - P_n|$ على مقياس لوغاريتمي على امتداد الرسم. يفتح وضع العرض مشهدًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (مفتاح المسافة يضيف حدودًا، و← → يغيّران الدرجة، وH يخفي نصف القطر).

موضوعات ذات صلة