テイラー級数

この可視化でのテイラー級数

注目するところ

• ここでは収束半径の内側で部分和が$f$に収束するため、その中の各$x$で、$n$を大きくすると誤差は0に近づきます。ただし、毎回必ず小さくなるとは限りません。外側では各項が0に近づかず、$P_n(x)$も一定の値に近づきません。棒は$R$に近づく目安であり、画面上で測ったものです。一方、$R$は式から求まります。
• 関数が実数全域で滑らかでも、収束半径が有限になることがあります。$1/(1 + x^2)$は複素数の点$\pm i$で定義されないため、$a$を中心とする級数が収束するのは$|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$だけです。
• 区間の端での挙動はさまざまです。$\ln(1 + x)$の0での級数は、$x = 1$では$\ln 2$に収束しますが、$x = -1$では発散します。$1/(1 - x)$の級数は両端で発散し、$\sqrt{1 + x}$の級数は両端で収束します。
• $a = 0$では、$\sin x$には奇数べきだけ、$\cos x$には偶数べきだけが現れます。そのため、正弦の$P_{2m}$と$P_{2m-1}$は同じ多項式です。n → ∞はこうした0の項を飛ばすので、各ステップで曲線が変わります。
• 収束するだけでは、和が$f$に等しいとは限りません。$x \ne 0$で$e^{-1/x^2}$、0で0となる関数は、0でのすべての階数の導関数が0です。そのため、0でのテイラー級数は、すべての$x$に対して0になります。

どこで使うか

• 物理では、ある点の近くで最初の数項を使います。振り子の小さな振動には$\sin\theta \approx \theta$を使い、$(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$を使うと、低速での相対論的運動エネルギーは$\tfrac12 mv^2$になります。
• 剰余項は、計算に必要な項数を教えてくれます。$1/k!$を$k = 0$から$10$まで足すと、これは$e^x$の$P_{10}(1)$であり、すでに$e$を誤差$3 \times 10^{-8}$未満で近似できます。

操作方法

• 次数のつまみを回すか、n → ∞を押すと、次の0でない項を1つずつ、$n = 30$まで追加します。最大まで進んでもう一度押すと、0から再生し直します。青い点または軸上の印をドラッグすると中心が動き、代表的な中心のキーでは正確な値に移動します。
• グラフの下の帯は、各xでの$|f - P_n|$を対数目盛りで示します。プレゼンテーションモードはプロジェクター向けの全画面表示です。スペースキーで項を追加し、← →で次数を変更、Hで収束半径を隠します。

関連項目