複素平面

複素平面（アルガン図、ガウス平面とも呼ばれます）は、複素数 $a + bi$ を点 $(a, b)$ として表します。横が実部、縦が虚部です。0からの距離が絶対値 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$、向きが偏角 $\arg z$、つまり正の実軸から測った角度です。このページでは $(-180^\circ, 180^\circ]$ の範囲の主値を表示し、0では偏角を定めません。これにより極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ が得られます。数 $w$ の加算、乗算、繰り返しの乗算が平面全体をどう変えるかを示します。

$w$ を掛けると1は $w$ に、$i$ は $iw$ に移ります。後者は $w$ を90°回転させたものです。薄い単位格子は $w$ と $iw$ が張る黄色い格子に移ります。平面全体が0を中心に $\arg w$ 回転し、$|w|$ 倍に伸縮するので、移った先の格子も常に正方形です。点 z = $a + bi$ は格子上の位置関係を保つため、$zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ となります。成分に分解では、この2方向の移動を描きます。$w = c + di$ なら $iw = -d + ci$。$w$ を4分の1回転させると虚部 $d$ が負の実軸に移り、公式の $-bd$ になります。これは $i^2 = -1$ の現れです。三角形 0–1–$z$ と 0–$w$–$zw$ は（$w \ne 0$ のとき）相似なので、長さは掛け算、角度は足し算になります。角度の和が180°を超えたら360°を引きます。0を掛けると全点が0に移ります。$w \ne 0$ で割ると逆の変換になり、$\arg w$ だけ逆回転し、長さを $|w|$ で割ります。

加算は平面全体を $w$ だけ平行移動します（平行四辺形 0、$z$、$w$、$z + w$）。$|z + w| \le |z| + |w|$ が成り立ち、等号は $z$ と $w$ が同じ向き、またはいずれかが0のときに限ります。繰り返しは $z, zw, zw^2, \dots$ を示します。1回ごとに $\arg w$ 回転し、$|w|$ 倍に伸縮するため、点は等角らせん上に並びます。$|w| = 1$ で $\arg w$ が1周の $p/q$ なら、$q$ 回で元に戻ります（1から始めると1の $q$ 乗根）。$w = e^{i\cdot 1}$ では $1/2\pi$ が無理数なので、元には戻りません。