المستوى المركّب

يمثّل المستوى المركّب (ويُسمّى أيضًا مخطط أرغاند أو مستوى غاوس) العدد المركّب $a + bi$ بالنقطة $(a, b)$: الجزء الحقيقي أفقيًا، والجزء التخيلي رأسيًا. بُعده عن 0 هو المعيار $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$، واتجاهه هو السعة $\arg z$، أي الزاوية من المحور الحقيقي الموجب؛ تعرض الصفحة قيمتها الرئيسية ضمن $(-180^\circ, 180^\circ]$، ولا تعرّفها عند 0. إذن $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$، وهي الصورة القطبية. تُظهر الصفحة أثر جمع عدد $w$ والضرب فيه وتكرار الضرب فيه على المستوى كله.

الضرب في $w$ ينقل 1 إلى $w$ و$i$ إلى $iw$، وهو $w$ بعد تدويره 90°. تنتقل شبكة الوحدات الباهتة إلى الشبكة الصفراء التي يولّدها $w$ و$iw$: يدور المستوى كله بزاوية $\arg w$ حول 0 ويتغيّر مقياسه بعامل $|w|$، لذا تبقى الشبكة الناتجة مربعة. تحتفظ النقطة z = $a + bi$ بإحداثياتها في الشبكة، ومن ثم $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — يرسم تفصيل المركّبات المسارين. إذا كان $w = c + di$، فإن $iw = -d + ci$: تدوير $w$ ربع دورة ينقل جزأه التخيلي $d$ إلى المحور الحقيقي السالب، ومن هنا يأتي $-bd$ في الصيغة، أثر العلاقة $i^2 = -1$. المثلثان 0–1–$z$ و0–$w$–$zw$ متشابهان (عندما $w \ne 0$)، ولهذا تُضرب الأطوال وتُجمع الزوايا؛ وإذا تجاوز المجموع 180° نطرح منه 360°. الضرب في 0 ينقل كل نقطة إلى 0. والقسمة على $w \ne 0$ تعكس كل ذلك: تدوير عكسي بزاوية $\arg w$ وقسمة المقياس على $|w|$.

يزيح جمع المستوى كله بمقدار $w$ (متوازي الأضلاع 0، $z$، $w$، $z + w$)، و$|z + w| \le |z| + |w|$، ولا تتحقق المساواة إلا إذا اتجه $z$ و$w$ في الاتجاه نفسه، أو كان أحدهما صفرًا. يحدّد تكرار النقاط $z, zw, zw^2, \dots$: كل خطوة تدير بزاوية $\arg w$ وتغيّر المقياس بعامل $|w|$، فتقع النقاط على لولب متساوي الزوايا. إذا كان $|w| = 1$ وكانت $\arg w$ كسرًا $p/q$ من دورة، عادت بعد $q$ خطوة (بدءًا من 1: جذور الوحدة من الرتبة $q$)؛ أما مع $w = e^{i\cdot 1}$ فلا تعود أبدًا، لأن $1/2\pi$ عدد غير نسبي.