دائرة الوحدة: تصوّر تفاعلي

01

دائرة الوحدة في هذا التصوّر

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل، $x^2 + y^2 = 1$ . تُقاس الزاوية $\theta$ بدءًا من محور x الموجب، وعكس اتجاه عقارب الساعة إذا كانت موجبة؛ وتنتهي عند نقطة P على الدائرة. ويُعرَّف جيب التمام والجيب بأنهما إحداثيا تلك النقطة. يعرّفهما ذلك لكل زاوية — منفرجة أو سالبة أو أكبر من دورة كاملة — وليس فقط للزوايا الحادة في مثلث قائم. عندما $\cos\theta \ne 0$ ، يكون الظل حاصل قسمة الجيب على جيب التمام. تعرض الصفحة كل زاوية بالراديان وبالدرجات، $\theta = 2\pi/3 = 120^\circ$ .

التعريف ومعادلة الدائرة

P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

في الرسم، يمثّل الضلعان القائمان للمثلث المرجعي، من O إلى $(\cos\theta, 0)$ ومن هناك صعودًا أو هبوطًا إلى P، القيمتين cos θ وsin θ بوصفهما إزاحتين موجّهتين: موجبتين إلى اليمين والأعلى، وسالبتين إلى اليسار والأسفل. يلتقي المستقيم OP بالمستقيم الرأسي $x = 1$ عند T $= (1, \tan\theta)$ ، لذا يكون tan θ ميل OP؛ وعندما تكون θ مساوية لـ $\pi/2 + n\pi$ يكون المستقيمان متوازيين وtan θ غير معرّف. تقع T على الشعاع OP عندما يكون cos θ موجبًا، وتقع خلف O على امتداده العكسي عندما يكون cos θ سالبًا — أي عندما يكون sec θ سالبًا؛ وقد يكون tan θ حينها موجبًا أو سالبًا (عند 210° يساوي √3/3). ولأن P تقع على الدائرة، فإن $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ هي معادلة الدائرة نفسها. انعكاس P في المحورين وفي نقطة الأصل يعطي النقاط المقابلة لـ $\pi - \theta$ و $\pi + \theta$ و $-\theta$ : المثلث نفسه بإشارات مختلفة، ومن هنا تأتي صيغ الاختزال مثل $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ . الزوايا التي تختلف بدورات كاملة (الزوايا المشتركة في ضلع الانتهاء، مثل $13\pi/6$ و $\pi/6$ ) تنتهي عند النقطة نفسها وتتساوى جميع قيمها.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

تأتي القيم الدقيقة للزوايا المميزة الست عشرة (مضاعفات 30° و45°) من مثلثين: نصف مثلث متساوي الأضلاع لزاويتي 30° و60°، ومثلث قائم متساوي الساقين لزاوية 45°. عند زاوية مرجعية مقدارها 30° أو 45° أو 60°، يظهر تلقائيًا المثلث الذي يفسر القيمة: فهو يعطي القيمة المطلقة (عند 30° يكون الوتر PP′ مساويًا لـ 1 و|sin θ| نصفه)، بينما يحدد الربع الإشارة. تُحفظ الزاوية المدخلة على هيئة كسر من π أو بالدرجات بدقة؛ ولا تظهر الصيغ الدقيقة مثل $\sqrt{3}/2$ إلا عند الزوايا المميزة، وتُعرض كل قيمة أخرى عددًا عشريًا بعلامة ≈.
عند تفعيل الدوال الست، تكون U نقطة التقاء المستقيم OP مع $y = 1$ : يمثّل cot θ القطعة الموجّهة على y = 1 حتى U، ويمثّل sec θ وcsc θ الطولين ذوي الإشارة OT وOU — ويكونان سالبين عندما تقع T أو U خلف O، على الامتداد العكسي لـ OP. لا يُعرَّف tan وsec عند $\pi/2 + n\pi$ ، ولا يُعرَّف cot وcsc عند $n\pi$ .
المقياس ثابت: لا يُختار أبدًا بحسب قيمة tan. عندما تتجاوز T (أو U) حافة الرسم، يشير إليها سهم عند الحافة ويعرض موقعها؛ ويمكنك مع ذلك التكبير والتصغير بالمقدار نفسه على المحورين. بعد دورة كاملة يلتف قوس الزاوية حلزونيًا إلى الخارج لإظهار اللفات — أما اتساعه في ذاته فلا يحمل معنى — وبعد ثلاث دورات لا تُرسم إلا الدورة الأخيرة، ويُذكر عدد الباقي («عدد الدورات: +4»، «عدد الدورات: −2»).

03

أدوات التحكم

تضبط أزرار القيم 0° و30° و45° و60° و90° الزاوية بدقة. قرب زاوية مميزة، تلتقط P المسحوبة تلك الزاوية؛ وإذا واصلت السحب تحررت منها. النقر على نقطة زاوية مميزة ينقل P إليها عبر المسار الأقصر. يمكن إدخال الزاوية بالراديان (2π/3، أو عدد عشري مثل 2.0944 يبقى عشريًا) أو بالدرجات (120°)، من −20π إلى 20π؛ وتحرك مفاتيح أسهم P الزاوية بمقدار درجة واحدة.
يفتح وضع العرض مشهدًا بملء الشاشة لأجهزة العرض: ينتقل ← → بين الزوايا المميزة، ويخفي H كل القيم مع بقاء الرسم.

04

موضوعات ذات صلة

C02الجيب وجيب التمام
C03الدالة الجيبية
B08الراديانقيد الإعداد
B04مبرهنة فيثاغورسقيد الإعداد

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Unit circle (الإنجليزية); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (الإنجليزية).