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三角関数と微積分の準備 · 単位円

単位円

単位円は原点を中心とする半径1の円で、角度θの点は(cos θ, sin θ)です。点を動かして、符号、特殊角での値、tanが図から決まる様子を見てみましょう。

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この可視化での単位円

単位円は、原点を中心とする半径1の円x2+y2=1x^2 + y^2 = 1です。角度θ\thetaは正のx軸から測り、反時計回りを正とします。その終辺と円との交点をPとし、その点の座標として余弦と正弦を定義します。これにより、直角三角形の鋭角だけでなく、鈍角、負の角度、1周を越える角度にも定義できます。cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0のとき、正接は正弦を余弦で割った値です。このページでは、各角度をθ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circのようにラジアンと度で表示します。

定義と円の方程式
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

図の基準となる直角三角形の2つの直角を挟む辺、Oから(cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0)までと、そこからPまでの上下方向の移動は、向き付きの変位としてcos θとsin θを表します。右と上が正、左と下が負です。直線OPは鉛直線x=1x = 1とT=(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta)で交わるため、tan θはOPの傾きです。θがπ/2+nπ\pi/2 + n\piのときは2直線が平行で、tan θは定義されません。cos θが正ならTは半直線OP上にあり、cos θが負、つまりsec θが負なら、Oの後ろ側への延長上にあります。このときtan θは正にも負にもなります（210°では√3/3です）。Pは円上にあるので、cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1は円そのものの方程式です。Pを座標軸や原点に関して対称移動すると、π−θ\pi - \theta、π+θ\pi + \theta、−θ-\thetaの点が得られます。同じ三角形で符号だけが変わることから、sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\thetaなどの公式が導かれます。整数周だけ違う角度（同じ終辺を持つ角度。たとえば13π/613\pi/6とπ/6\pi/6）は同じ点に着き、すべての三角関数の値が一致します。

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注目するところ

  • 16個の特殊角（30°または45°の整数倍）の正確な値は、2つの三角形から分かります。30°と60°には正三角形の半分、45°には直角二等辺三角形を使います。基準となる鋭角が30°、45°、60°のときは、その値を導く三角形を自動表示します。三角形が絶対値を決め（30°では弦PP′の長さが1で、|sin θ|はその半分）、象限が符号を決めます。πの分数倍や度で入力した角度は正確に保持します。3/2\sqrt{3}/2のような閉じた形の値を表示するのは特殊角だけで、それ以外は≈を付けた小数で表示します。
  • 6つの三角関数を選ぶと、Uは直線OPとy=1y = 1の交点です。cot θはy = 1上のUまでの向き付きの長さで、sec θとcsc θはOTとOUの符号付きの長さです。TやUがOの後ろ、OPの逆向きの延長上にあると負になります。π/2+nπ\pi/2 + n\piではtanとsec、nπn\piではcotとcscが定義されません。
  • 縮尺は固定で、tanの値に合わせて自動調整しません。T（またはU）がグラフの外にあるときは、端の矢印で方向と位置を示します。両軸を同じ倍率で拡大・縮小することはできます。1周を越えると角度の弧は外向きのらせんになり、巻き数を示しますが、広がりそのものには意味がありません。3周を越えると最後の1周だけを描き、残りは「+4周」「−2周」のように表示します。
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操作方法

  • 0°、30°、45°、60°、90°のキーは、角度を正確に設定します。Pをドラッグすると特殊角の近くで吸着し、そのまま動かすと離れます。特殊角の点をクリックすると、短い方の経路でPが移動します。角度はラジアン（2π/3、または2.0944などの小数。小数はそのまま保持）でも度（120°）でも入力でき、範囲は−20πから20πです。Pを選んで矢印キーを押すと1度ずつ動きます。
  • プレゼンテーションモードはプロジェクター向けの全画面表示です。← →で特殊角を順に移動し、Hで図を残したまますべての値を非表示にします。
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関連項目

さらに読む: ウィキペディア: Unit circle (英語); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (英語).