正弦と余弦

正のx軸からラジアンで測った角度$\theta$に対し、単位円上の点は$P = (\cos\theta, \sin\theta)$です。余弦は横座標、正弦は高さを表します。ラジアンで測る角度は単位円に沿った弧の長さなので、θは(1, 0)から進んだ弧の長さでもあります。どちらの関数も1周で繰り返し、その周期は$2\pi$です。このページでは1周分、$0 \le \theta \le 2\pi$を追います。

3つの図は長さの単位を共有しています。Pの高さを右に移すと、θが右向きに増える正弦波を描きます。横座標を下へ移すと、θが下向きに増える余弦波を描きます。(1, 0)からPまでの黄色い弧の長さはθで、両方のθ軸にも同じ長さが黄色で示されます。1周を伸ばすと、半径の2π ≈ 6.283倍になります。横向きにすると、下向きのグラフ全体を円の中心のまわりに4分の1回転させます。この回転により、グラフ上の各点は横位置θ、高さcos θに移り、Pは4分の1周先の点Qに移ります。Qの高さはPの横座標なので、余弦波は$\pi/2$先の正弦波と同じ高さです。つまり、正弦波を左に$\pi/2$ずらした波です。

毎秒1ラジアンで回るPの速度は$(-\sin\theta, \cos\theta)$で、その大きさは1、向きは半径に垂直です。上向きの成分cos θは高さの変化率であり、正弦波の傾きに等しくなります。θ = 0では1、θ = πでは−1、山と谷では0です。回転させると、π/6秒ごとに赤い目盛りが残ります。円周上の目盛りは等間隔ですが、その影は高さがゆっくり変わる頂点や底の近くに集まります。