正弦型関数：振幅・周期・位相のずれを操作できるグラフ

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この可視化での正弦型関数

正弦型関数は、 $A \ne 0$ かつ $\omega > 0$ のもとで $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ という形を持つ関数です。 $\sin x$ のグラフを伸縮・平行移動したものです。 $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ とも書け、そのとき $B = \omega$ 、 $C = -\varphi/\omega$ 、 $D = k$ です。 $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ なので、余弦曲線も正弦型関数です。パネルでは $A$ と $\omega$ をつまみで操作し（ $\omega$ は½から4）、横移動 $-\varphi/\omega$ と $k$ をスライダーで操作します。

破線は基本曲線 $y = \sin x$ 、実線はパネルで設定した関数です。黄色の印は各パラメータが決める量を、それぞれ1つずつ示します。

4つのパラメータ、4つの役割

\text{振幅} = |A|, \quad \text{周期} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{横方向の移動量} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{中心線 } y = k\text{。}

縦の括弧は中心線から山まで（ $A < 0$ なら谷まで）を測り、横の括弧は1周期を測ります。中心線上の矢印は $x = 0$ から、移動後のsin xの周期が始まる $x = -\varphi/\omega$ までを示します。青い点は、その周期の5つの代表点です。 $\omega x + \varphi$ が $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ および $2\pi$ となる位置で、始点、極値 $y = k + A$ 、中心線、極値 $y = k - A$ 、終点に対応します。 $A > 0$ では山が先で谷が後、 $A < 0$ では逆になります。

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注目するところ

括弧の内側の変更は横方向に作用し、一見逆向きに働きます。 $\omega = 2$ は周期を短くし（ $4\pi$ ではなく $\pi$ ）、 $\varphi$ が負なら曲線は右に移動します。
$\omega$ を回すと、周期の始点 $x = -\varphi/\omega$ を基準に曲線が横方向に伸縮します。このページでは $\omega$ を変えても横移動を固定するため、 $\varphi = -\omega\cdot(\text{横方向の移動量})$ も連動して変わります。
曲線は $k - |A|$ と $k + |A|$ の間で振動し、中心線はその中間にあります。 $A$ が負なら中心線に関して反転しますが、振幅は常に $|A|$ です。

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正しく読み取るために

横移動は $-\varphi$ ではなく $-\varphi/\omega$ です。 $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ は $\sin 2x$ を右に $\pi/3$ 動かしたものです。先に移動しても構いません。 $\sin x$ を $-\varphi$ だけ移動し、その後x座標を $\omega$ で割ると、移動量も同じように割られます。
周期は $\omega$ だけ、振幅は $A$ だけで決まります。 $A = 0$ では関数は定数 $k$ です。振幅は0で、振動せず、最小の正の周期もないため、周期と $\varphi$ はダッシュで表示します。 $\varphi$ は横移動から計算し、特定の区間には収めません。 $\varphi$ と $\varphi + 2n\pi$ は同じ曲線を描きます。
このページでは $\omega$ を正に保ちます。負の $\omega$ を使っても新しい曲線は生まれません。 $\sin(-u) = -\sin u$ なので、 $\omega$ を $|\omega|$ に、 $A$ を $-A$ に、 $\varphi$ を $-\varphi$ に置き換えれば同じです。

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代表点を使って描く

$\omega x + \varphi$ を $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ とすると、 $s = -\varphi/\omega$ 、 $T = 2\pi/\omega$ として $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ が得られ、そこで $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ です。この5点を打ち、滑らかにつなぐのが、手で1周期を描く標準的な方法です。パネルの代表点の表には、設定した関数の5点が並びます。列にポインターを合わせると、グラフ上の対応点が強調されます。

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操作方法

$A$ と $\omega$ はつまみで、横移動 $-\varphi/\omega$ は左右に動くスライダーで操作します（ $-\pi$ から $\pi$ まで、 $\pi/12$ の整数倍に吸着）。 $k$ は上下に動くスライダーで、曲線が動く方向に合わせています。値をクリックすると入力できます（横移動はπ/6、2π/3、-pi/4、またはラジアン値を入力可能）。横移動の下の「≡」は、反対方向に動かして同じ曲線になる移動量を示します。1周期の整数倍だけ違う移動量は、同じ曲線を描きます。
グラフ上では、周期の始点をドラッグすると曲線を平行移動し、最初の極値点を上下に動かすと $A$ が変わり、終点を左右に動かすと周期が変わります。
プレゼンテーションモードはプロジェクター向けの全画面表示です。← →で曲線を $\pi/12$ ずつ横移動し、↑ ↓で中心線を0.5ずつ動かし、Hで測定値を隠します。

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