単振動

単振動は、変位に比例する復元力を受ける物体の運動 $m x'' = -k x$ です。$\omega = \sqrt{k/m}$ を使うと $x'' = -\omega^2 x$ と書けます。すべての解は $x = A\cos(\omega t - \varphi)$ で、周期 $T = 2\pi/\omega$ は振幅 A に依存しません。位相を変えて $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ とも書きます。このページではばねにつながれた物体で理由を示し、振り子と比較します。

3段は同じ x 軸を共有します。位相平面で状態は点 (x, v/ω) です。その平面内での速度は、横が v、縦が a/ω = −ωx。この2つを合わせると常に半径と垂直で、長さは半径の ω 倍です。そのためどの点もレコード盤のように同じ角速度 ω で中心の周りを回ります。レール上の物体は点を x 軸へ投影したもので、だから x は余弦になります。中心からの距離が振幅、向きが位相、半径の2乗の½k倍がエネルギーです。ばねの分は½kx²、運動の分は½k(v/ω)²です。v を ω で割ることで軌道が円になります。v のままなら楕円となり、点の回転は一様ではありません。下の記録紙は時間に対する x を記録し、0.1秒ごとの目盛りとゼロ通過の印を付けます。振幅によらず T/2 ごとにゼロを通過し、第2の振動子の印もそろいます。

振り子は弧長 $s = L\theta$ を使うと $s'' = -g\sin(s/L)$ に従います。力は s に比例しないため、単振動ではありません。平面 (s, ṡ/ω₀) の等エネルギー曲線は円ではなく卵形で、振幅が増えるほど周期 $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$ が長くなります。小さな振れ角 $\theta_{\max}$（ラジアン）なら約 $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$、ただし $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ です。ここで $\theta_{\max}$ はエネルギーで決まる最大の振れ角で、初期角度と等しいのは静止から始めた場合だけです。振り子の記録はこの厳密な周期と照合した数値解、ばねの記録は厳密解です。破線の分離曲線を越えると振り子は頂点を越えて回転しますが、このページでは振れ角を170°以内に保ちます。