Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung ist die Bewegung einer Masse unter einer zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft: $m x'' = -k x$ oder $x'' = -\omega^2 x$ mit $\omega = \sqrt{k/m}$. Jede Lösung hat die Form $x = A\cos(\omega t - \varphi)$; ihre Periode $T = 2\pi/\omega$ ist unabhängig von der Amplitude A. Häufig schreibt man auch $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ mit einer anderen Phase. Die Seite zeigt den Grund am Feder-Masse-System und vergleicht ein Pendel.

Die drei Ebenen teilen eine x-Achse. In der Phasenebene ist der Zustand der Punkt (x, v/ω). Seine dortige Geschwindigkeit hat zwei Komponenten: v waagerecht und a/ω = −ωx nach oben oder unten. Zusammen stehen sie stets senkrecht zum Radius und sind ω-mal so lang. Daher dreht sich jeder Punkt der Ebene mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω um das Zentrum, wie auf einer Schallplatte. Die Masse auf der Schiene ist die Projektion des Punkts auf die x-Achse; deshalb ist x eine Kosinusfunktion. Der Abstand vom Zentrum ist die Amplitude, die Richtung die Phase, und das Radiusquadrat mal ½k ist die Energie — der Federanteil ½kx², der Bewegungsanteil ½k(v/ω)². Erst die Division von v durch ω macht die Bahn zum Kreis: Mit v selbst wäre sie eine Ellipse, und der Punkt würde sich nicht gleichmäßig drehen. Das Papierband darunter zeichnet x über der Zeit auf, mit Teilstrichen alle 0.1 s und einer Markierung bei jedem Nulldurchgang. Unabhängig von der Amplitude kommen diese alle T/2; die Markierungen eines zweiten Oszillators liegen neben denen des ersten.

Das Pendel folgt $s'' = -g\sin(s/L)$ mit der Bogenlänge $s = L\theta$: Die Kraft ist nicht proportional zu s, also ist die Bewegung nicht harmonisch. Seine Energiekurven in der Ebene (s, ṡ/ω₀) sind Ovale statt Kreise, und die Periode wächst mit der Auslenkung: $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, für kleine Auslenkung $\theta_{\max}$ im Bogenmaß ungefähr $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$, wobei $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ gilt. Hier ist $\theta_{\max}$ die durch die Energie bestimmte maximale Auslenkung; sie ist nur beim Start aus der Ruhe gleich dem Anfangswinkel. Das Pendelband zeigt eine numerische Lösung, geprüft an dieser exakten Periodendauer; das Federband zeigt die exakte Lösung. Jenseits der gestrichelten Separatrix überschlägt sich das Pendel; diese Seite begrenzt die Auslenkung auf 170°.