الحركة التوافقية البسيطة

الحركة التوافقية البسيطة حركة كتلة تحت قوة إرجاع متناسبة مع إزاحتها: $m x'' = -k x$، أو $x'' = -\omega^2 x$ مع $\omega = \sqrt{k/m}$. كل حل هو $x = A\cos(\omega t - \varphi)$، وزمن دورته $T = 2\pi/\omega$ لا يعتمد على السعة A. ويُكتب كثيرًا أيضًا $x = A\sin(\omega t + \varphi)$، بطور آخر. تشرح الصفحة السبب لكتلة على نابض، وتقارنها ببندول.

تشترك الطبقات الثلاث في محور x واحد. على مستوى الطور تكون الحالة النقطة (x, v/ω). لسرعتها هناك مركّبتان: v أفقيًا وa/ω = −ωx إلى أعلى أو أسفل؛ وهما معًا عموديتان دائمًا على نصف القطر وطولهما ω مرة طوله، فتدور كل نقطة في المستوى حول المركز بالمعدل نفسه ω، كأسطوانة دوّارة. الكتلة على المسار الخطي هي مسقط النقطة على محور x، ولهذا تكون x دالة جيب تمام؛ والبُعد عن المركز هو السعة، والاتجاه هو الطور، ومربع نصف القطر مضروبًا في ½k هو الطاقة — حصة النابض ½kx²، وحصة الحركة ½k(v/ω)². قسمة v على ω هي ما يجعل المدار دائرة: مع v نفسها يكون قطعًا ناقصًا، ولا تدور النقطة بانتظام. يسجّل الشريط الورقي تحت المستوى x مقابل الزمن، بعلامة كل 0.1 ثانية وعلامة عند كل عبور للصفر؛ يحدث العبور كل T/2 مهما كانت السعة، وتصطف علامات المهتز الثاني مع الأول.

يخضع البندول للمعادلة $s'' = -g\sin(s/L)$ مع طول القوس $s = L\theta$: القوة ليست متناسبة مع s، لذا فالحركة ليست توافقية بسيطة. منحنيات طاقته على المستوى (s, ṡ/ω₀) بيضاوية الشكل، لا دوائر، ويزداد زمن دورته مع السعة، $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$، ويقارب $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ لسعة صغيرة $\theta_{\max}$ بالراديان، حيث $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. هنا $\theta_{\max}$ سعة التأرجح التي تحدّدها الطاقة؛ ولا تساوي الزاوية الابتدائية إلا إذا بدأت الكرة من السكون. شريط البندول حل عددي، جرى التحقق منه مقابل زمن الدورة الدقيق؛ أما شريط النابض فحل دقيق. بعد المنحنى الفاصل المتقطع يدور البندول فوق الأعلى؛ وتبقي هذه الصفحة التأرجح ضمن 170°.