التخميد

التخميد هو فقد الطاقة الذي يجعل الاهتزاز يتلاشى. لكتلة على نابض مع مخمِّد، $m x'' + c x' + k x = 0$، وتُكتب $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ باستعمال التردد الطبيعي $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ونسبة التخميد $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. تحت 1 تكون الحركة ذات تخميد ناقص (تتذبذب)، وعند 1 ذات تخميد حرج، وفوق 1 ذات تخميد زائد (تزحف). للكتلة المعلّقة رأسيًا، لا تفعل الجاذبية سوى إزاحة موضع السكون إلى أسفل بمقدار mg/k؛ وتُقاس x من ذلك الموضع. تترك الصفحة الكتلة من السكون عند x = 1 وتسأل إن كانت زيادة التخميد توقفها أسرع.

في يمين الصورة مستوى الجذور. حاصل ضرب الجذرين هو $\omega_0^2$، لذا يقعان، ما دامت الحركة متذبذبة، على دائرة نصف قطرها ω₀: يحدّد الجزء الحقيقي $-\zeta\omega_0$ الاضمحلال، والجزء التخيلي $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ التردد، ولذلك يبطّئ التخميد كل دورة أيضًا. عند ζ = 1 يلتقي الجذران عند −ω₀. وبعدها ينطلق أحدهما يسارًا ويزحف الآخر عائدًا نحو 0، مقتربًا من $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ عندما تكون ζ كبيرة. يضمحل أبطأ جزء من الحركة على نمط $e^{-\sigma t}$، ويبلغ معدل الاضمحلال σ، أي بُعد الجذر الأيمن عن المحور التخيلي، أقصاه عند ζ = 1 بالضبط. يوضحه المنحنى الأزرق المتقطع على x(t): الغلاف $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ في التخميد الناقص (يلمسه المنحنى بين قممه)، وحدّ الجذر البطيء في التخميد الزائد.

يحتاج «التوقف» إلى معيار. تستخدم الصفحة $T_{1\%}$، وهو أول زمن تبقى بعده |x| دائمًا ضمن 1 % من إزاحة الانطلاق. يكبّر الشريط أسفل x(t) هذا النطاق. تقع القيم القصوى عند $t_n = n\pi/\omega_d$ مع $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$، وهو ما يحدّد بدقة أي القمم تخرج من النطاق؛ ثم تُوجد العودة الأخيرة بالتنصيف على الحل ذي الصيغة المغلقة، لذا فالقراءة عددية. يؤدي تقليل ζ إلى زمن استقرار متأخر قليلًا كلما خرجت قمة إضافية من النطاق، ولذلك يقفز منحنى $T_{1\%}$ مقابل ζ. لا تقع قيمته الدنيا عند التخميد الحرج بل عند $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$، حيث يلامس التجاوز الوحيد −1 % بالضبط: 0.667 T₀ مقابل 1.057 T₀. التخميد الحرج هو الأسرع فقط بين الحركات التي لا تعبر x = 0 أبدًا، وفقط عند الانطلاق من السكون؛ ويغيّر اختيار نطاق آخر ζ* (نطاق 2 % يعطي نحو 0.780).