阻尼

阻尼是让振动衰减下去的能量损耗。带阻尼器的弹簧振子满足$m x'' + c x' + k x = 0$，写成$x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$，其中固有角频率$\omega_0 = \sqrt{k/m}$，阻尼比$\zeta = c/(2\sqrt{mk})$。ζ小于1是欠阻尼（来回振荡），等于1是临界阻尼，大于1是过阻尼（慢慢爬回）。竖直挂着的物块受的重力只把平衡位置下移mg/k，x从这个位置量起。本页让物块从x = 1静止放开，问：阻尼越大，停得越快吗？

画面右边是特征根平面。两根之积是$\omega_0^2$，所以欠阻尼时它们在半径ω₀的圆上：实部$-\zeta\omega_0$决定衰减，虚部$\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$决定振动的角频率，所以阻尼也让每次来回变慢。ζ = 1时两根在−ω₀相遇；过了临界，一个根往左跑，另一个退回0附近，ζ较大时约为$-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$。运动中最慢的那部分按$e^{-\sigma t}$衰减，这个渐近衰减率σ就是最右边的根到虚轴的距离，恰好在ζ = 1时最大。x(t)图上的蓝色虚线画出了它：欠阻尼时是包络$\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$（曲线在两个极值之间与它相切），过阻尼时是慢根那一项。

“停下”要有一个标准。本页用$T_{1\%}$：从这一刻起|x|始终不超过放开时的1%，这样的最早时刻。x(t)下方的窄图把这条带放大。极值在$t_n = n\pi/\omega_d$，$|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$，由此精确判断哪些峰伸出带外；最后一次回到带内的时刻再在闭式解上用二分法求出，所以这个读数是数值的。ζ稍小一点、多一个峰伸出带外时，稳定时间就跳一次，所以$T_{1\%}$随ζ的曲线是锯齿形。它的最小值不在临界阻尼，而在$\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$：这时唯一一次越过平衡位置恰好碰到−1%，用时0.667 T₀，临界阻尼要1.057 T₀。临界阻尼只在“不越过x = 0”的运动里最快，而且只对从静止放开而言；带宽不同，ζ*也不同（2%带约为0.780）。