简谐振动

简谐振动（也叫简谐运动）是物体在与位移成正比的回复力作用下的运动：$m x'' = -k x$，即$x'' = -\omega^2 x$，$\omega = \sqrt{k/m}$。它的解都是$x = A\cos(\omega t - \varphi)$，周期$T = 2\pi/\omega$与振幅A无关。也常写成$x = A\sin(\omega t + \varphi)$，相位取法不同。本页用弹簧振子说明为什么，并和单摆对照。

三层共用一根x轴。在相平面上，状态是点(x, v/ω)。它在相平面上的速度有两部分：横向是v，竖向是a/ω = −ωx；合起来处处垂直于半径，长度是半径的ω倍，所以整张平面上的点都以同一个角速度ω绕中心转，像一张唱片。导轨上的物块是这个点在x轴上的影子，所以x是余弦；点到中心的距离是振幅，方向是相位，距离的平方乘½k是能量——弹簧里的是½kx²，运动的是½k(v/ω)²。纵轴取v/ω才使轨道成圆：直接用v是椭圆，点也不再匀速转。相平面下面的纸带记下x随时间的变化，每0.1 s一道刻度，每次过零留一个记号；不论振幅多大，过零都相隔T/2，对照振子的记号和主振子的对齐。

单摆满足$s'' = -g\sin(s/L)$，弧长$s = L\theta$：回复力不与s成正比，所以不是简谐振动。它在相平面(s, ṡ/ω₀)上的能量线是卵形而不是圆，周期随摆幅变长，$T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$；摆幅$\theta_{\max}$较小时约为$T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$（$\theta_{\max}$用弧度），其中$T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$。这里的$\theta_{\max}$是由能量决定的摆幅，只有从静止放开时才等于起始摆角。单摆的纸带是数值解，并用上面的精确周期核对过；弹簧的纸带是精确解。越过虚线所示的分界轨道，摆会翻过顶点整圈转动；本页把摆角限制在170°以内。