Dämpfung

Dämpfung ist der Energieverlust, durch den eine Schwingung abklingt. Für eine Masse an Feder und Dämpfer gilt $m x'' + c x' + k x = 0$, geschrieben als $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ mit der Eigenkreisfrequenz $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ und dem Dämpfungsgrad $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Unter 1 ist die Bewegung unterkritisch gedämpft (sie schwingt), bei 1 kritisch gedämpft, über 1 überkritisch gedämpft (sie kriecht zurück). Bei einer senkrecht hängenden Masse verschiebt die Schwerkraft lediglich die Ruhelage um mg/k nach unten; x wird von dort gemessen. Die Seite lässt die Masse bei x = 1 aus der Ruhe los und fragt, ob mehr Dämpfung sie früher zur Ruhe bringt.

Rechts im Bild liegt die Wurzelebene. Das Produkt der beiden Wurzeln ist $\omega_0^2$. Solange die Bewegung schwingt, liegen sie deshalb auf dem Kreis mit Radius ω₀: Der Realteil $-\zeta\omega_0$ bestimmt das Abklingen, der Imaginärteil $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ die Frequenz. Dämpfung verlängert also auch jede Schwingung. Bei ζ = 1 treffen sich die Wurzeln bei −ω₀. Danach läuft eine nach links, während die andere langsam gegen 0 zurückkehrt, für große ζ ungefähr zu $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$. Der langsamste Anteil der Bewegung klingt wie $e^{-\sigma t}$ ab. Diese Abklingrate σ, der Abstand der am weitesten rechts liegenden Wurzel von der imaginären Achse, ist genau bei ζ = 1 maximal. Im Diagramm von x(t) zeigt die gestrichelte blaue Kurve diesen Anteil: bei unterkritischer Dämpfung die Einhüllende $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ (die Kurve berührt sie zwischen ihren Extrema), bei überkritischer Dämpfung den Term der langsamen Wurzel.

„Zur Ruhe kommen“ braucht eine Definition. Die Seite verwendet $T_{1\%}$, den frühesten Zeitpunkt, ab dem |x| dauerhaft innerhalb von 1 % der Anfangsauslenkung bleibt. Der Streifen unter x(t) vergrößert dieses Band. Die Extrema liegen bei $t_n = n\pi/\omega_d$ mit $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$. Daraus folgt exakt, welche Extrema außerhalb des Bandes liegen. Die letzte Rückkehr wird anschließend durch Bisektion der geschlossenen Lösung bestimmt; die Anzeige ist daher numerisch. Bei kleinerem ζ verlängert sich die Einschwingzeit sprunghaft, sobald ein weiteres Extremum das Band verlässt. Daher hat die Kurve von $T_{1\%}$ gegen ζ Sprünge. Ihr Minimum liegt nicht bei kritischer Dämpfung, sondern bei $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, wo das einzige Überschwingen genau −1 % berührt: 0.667 T₀ statt 1.057 T₀. Kritische Dämpfung ist nur unter den Bewegungen am schnellsten, die x = 0 nie überqueren, und nur beim Start aus der Ruhe. Ein anderes Band verschiebt ζ* (bei 2 % auf ungefähr 0.780).