Sinus und Kosinus

Für einen von der positiven x-Achse aus im Bogenmaß gemessenen Winkel $\theta$ liegt der Punkt auf dem Einheitskreis bei $P = (\cos\theta, \sin\theta)$: Der Kosinus ist seine horizontale Position, der Sinus seine Höhe. Das Bogenmaß entspricht einer Länge entlang des Einheitskreises; θ ist daher auch die von (1, 0) aus zurückgelegte Bogenlänge. Beide Funktionen wiederholen sich nach einer Umdrehung, einer Periode von $2\pi$. Diese Seite verfolgt eine Umdrehung, $0 \le \theta \le 2\pi$.

Alle drei Teile verwenden dieselbe Längeneinheit. Die nach rechts übertragene Höhe von P zeichnet die Sinuswelle mit θ nach rechts; seine nach unten übertragene horizontale Position zeichnet die hängende Kosinuswelle mit θ nach unten. Der gelbe Bogen von (1, 0) nach P hat Länge θ, und dieselbe gelbe Länge liegt auf beiden θ-Achsen: Eine Umdrehung rollt sich zu 2π ≈ 6.283 Radien ab. Waagerecht dreht den hängenden Graphen um eine Vierteldrehung um das Zentrum. Dabei gelangt jeder Graphpunkt an Position θ auf Höhe cos θ und P zum um eine Vierteldrehung vorauseilenden Q. Qs Höhe ist Ps horizontale Position. Deshalb liegt die Kosinuswelle auf gleicher Höhe wie die um $\pi/2$ weiter rechts liegende Sinuswelle: Sie ist die um $\pi/2$ nach links verschobene Sinuswelle.

Bei einer Drehung mit einem Radiant pro Sekunde hat P die Geschwindigkeit $(-\sin\theta, \cos\theta)$ mit Länge 1, senkrecht zum Radius. Ihre vertikale Komponente cos θ ist die Änderungsrate der Höhe und damit die Steigung der Sinuswelle: 1 bei θ=0, −1 bei θ=π und 0 an Hoch- und Tiefpunkten. Drehen hinterlässt alle π/6 s eine rote Marke. Auf dem Kreis liegen sie gleichmäßig; ihre Projektionen drängen sich oben und unten, wo sich die Höhe langsam ändert.